高等数学--函数

第一章函数与极限一、函数的概念（definition）二、初等函数(elementaryfunction)分段函数(piecewisefunction)三、函数的几种特性(characteristics)第一节函数（Function）常量与变量:注意一个量究竟是常量还是变量,不是绝对的,要根据具体过程和条件来确定.而数值变化的量称为变量。在某过程中数值保持不变的量称为常量,符号说明：表示：任意一个，每一个，表示：存在，至少存在一个，因变量自变量变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作：定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，数集D叫做这个函数的定义域)(xfy如果对于每个数Dx,一、函数的概念(definition)对应法则000,()xDfxx当时称为函数在点处的函数值.{(),}.WyyfxxD函数值全体组成的数集称为函数的值域注：对应法则和定义域是函数中的两大要素():yfxfAR实质上，函数就是映射21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D只有当两者完全相同时，才能认为两个函数是相同的。例：判断下列函数是否相同？xxgxxf)()()1(2与11)(11)()2(2xxgxxxf与xxgxfx)(10)()3(lg与函数的表示法(renpresentation)解析法表格法图示法自己看书！这三种表述各有特点并可以相互转化．（5）三角函数,cot,tan,cos,sinxyxyxyxy.csc,secxyxy（4）对数函数);1,0(logaaxya（3）指数函数);1,0(aaayx（2）幂函数);(为任意实数xy（1）常函数);(是实数ccy二、初等函数1.基本初等函数（6）反三角函数,arctan,arccos,arcsinxyxyxyxarcycot等.(2)幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy人和命运的关系就像F(x)=x与G(x)=x^2的关系。一开始，你以为命运是你的无穷小量。随着年龄的增长，你才发现你用尽全力也赶不上命运的步伐。这时候，若不是以一种卑微的姿态走下去，便是结束自己的生命。(3)指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey(4)对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1((5)三角函数正弦函数xysinxysinxycosxycos余弦函数正切函数xytanxytan正切函数是多么的单纯哪。。从无穷到无穷，无限延伸，不可估量的我是sin,你是cos,不求平方和，只求tanxycot余切函数xycot（6）反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数（了解）xyarccosxyarccos反余弦函数（了解）xyarctanxyarctan反正切函数（了解）幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。xycot反余切函数arcxycotarc（了解）2、复合函数分段函数（1）复合函数(Compositefunction),uy设,12xu21xy定义:设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若ZDf,则称函数)]([xfy为x的复合函数.,自变量x,中间变量u,因变量y例：将下列复合函数分解为简单函数xkxyxyxyaycbxay2sin222)5()1ln(lnln)4()cos11lg()3(21)2()sin()1(注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu)2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数。（2）.初等函数（elementaryfunction）例如：225arctan)1sin(tan1lgxxyexxyxxyx0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数。（2）分段函数(piecewisefunction)010001sgnxxxxy当当当1-1xyo1）符号函数对都有,xRsgnxxx2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyox5[],[3],7[1],[3.5]0-11-4M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,0,,(),XDMxXfxM若有成立1.函数的有界性（boundedness）().fxX则称函数在上有界否则称无界.三、函数的性质(properties)．Rxy上有界在函数例如sin,.),(,),(上有界在内无界在而函数1101xy有界性是针对某一区间而言的2．函数的单调性（monotonicity）(),fxDID设函数的定义域为，区间1212,Ixxxx如果对于区间上任意两点及，当时();fxI则称函数在区间上是单调增加的12(1)()()fxfx恒有，1x2x)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI();fxI则称函数在区间上是单调减少的(),fxDID设函数的定义域为，区间1212,Ixxxx如果对于区间上任意两点及，当时12(2)()()fxfx恒有，1x2x3．函数的奇偶性（parity）偶函数,,DxD设函数的定义域关于原点对称对于有()()fxfxyx)(xf)(xfyox-x)(xf()fx称为偶函数；,DxD设关于原点对称，对于有)()(xfxf();fx则称为奇函数奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy4．函数的周期性(periodic)(),fxD设函数的定义域为如果存在一个不为零的()().fxTfx且恒成立,,().TxDxTD数使得对于任一()fx则称为周,().Tfx期函数称为的周期2l2l23l23l例如都是周期函数,周期为.xxxxcot,tan,cos,sin2pp和5.反函数(anti-function)0x0y0x0yxyDW)(xfy函数oxyDW)(yx反函数o)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称。xy主要内容１.常量变量函数的概念２.基本初等函数复合函数分段函数初等函数反函数３.函数的性质：有界性单调性周期性奇偶性例)].([,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx求设解1)(),(1)(,)]([)(xxxexfx,1)(10时当x,0x或,12)(xx;20x,0x或,11)(2xx;1x,1)(20时当x,0x或,12)(xx;2x,0x或,11)(2xx;01x综上所述.2,120011,,2,)]([2122xxxxxexexfxx