高等数学-函数

高等数学2学数学学什麽？数学的基本特征抽象性演绎性广泛性（研究对象）（论证方法）（应用）假设结论logic理性思维课程简介高等数学（AdvancedMathematics）微分学(DifferentialCalculus)积分学(IntegralCalculus)本课程是理工科类本科生必修的数学基础课程课程内容一元函数微积分及其应用（中学已有接触）多元函数微积分及其应用无穷级数常微分方程4本课程的重要性RETURN数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化。数学教育在培养高素质经济和管理人才中越来越显示出其独特的，不可替代的重要作用。后继课程：线性代数、复变函数、概率论与数理统计等1.通过掌握高等数学基本知识，基本理论，基本计算方法，提高数学素养；2.培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力，辩证的思想方法；3.培养学生分析问题和解决问题的能力；4.为进一步学习数学，物理和专业的后记课程打下必要的数学基础。学习方法与要求认真领会概念、定义的含义；将“意”——函数等概念的抽象表示——和“形”——几何图形或函数图形——相结合；通过解题来复习知识和锻炼思维能力；善于总结经验，解决实际问题；加强复习，温故而知新。RETURN本学期主要授课内容第一章函数、极限与连续第二章导数与微分第三章中值定理、导数的应用第四章不定积分第五章定积分第六章定积分的应用RETURN第一章函数高等数学是以函数为主要研究对象的，本章有关函数的基本概念与基本性质中学教材已学，故本章属复习内容。我们可以通过做习题达到复习与巩固的目的。同学们也可以通过练习检验自己有关函数的内容掌握的情况。本章的基础对以后的学习非常重要•一、基本概念•二、函数概念•三、函数的特性•四、初等函数•五、函数模型的建立一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成集合的事物称为元素.元素a属于集合M,记作.Ma元素a不属于集合M,记作𝑎∉𝑀.有限集:无限集：由有限个元素组成的集合.由无限个元素组成的集合.a)定义:2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.oxab开区间设𝑎,𝑏都是实数，且𝑎𝑏：𝑥|𝑎𝑥𝑏记作𝑎,𝑏闭区间𝑥|𝑎≤𝑥≤𝑏记作𝑎,𝑏oxab称为半开区间,称为半开区间,oxaoxb记作[𝑎,𝑏)𝑥|𝑎𝑥≤𝑏记作(𝑎,𝑏]有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.}{bxax3.邻域:设𝑎和δ是两个实数，且δ0，数集𝑥|𝑥−𝑎𝛿称为点𝑎的δ邻域，记作U𝑎,δ.U𝑎,δ=𝑥|𝑥−𝑎𝛿=𝑥|𝑎−δ𝑥𝑎+δxaaa去心邻域其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.左邻域:右邻域:a)定义:设D为一个非空的实数集合,如果存在一个对应规则f,使得对任一x∈D,都能由f唯一地确定一个实数y,则称对应法则f为定义在实数集合D上的一个函数.称D为函数f的定义域,x为自变量,y为因变量.记作𝐲=𝒇𝒙.因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW二、函数概念(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.f(x)=2x2+3x-1就是一个特定的函数，f(x)确定的对应法则为：f()=2()2+3()-1例1函数𝑓𝑥=2𝑥2+3𝑥−1,求𝑓1，𝑓,𝑥2.解因为𝑓𝑥的对应法则为：22+3−1𝑓1=2∙12+3∙1−1=4𝑓𝑥2=2∙𝑥22+3𝑥2−1=2𝑥4+3𝑥2−1例2设f(x+1)=2x2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t2-t-2∴f(x)=2x2–x–2其对应法则：f()=2()2-()-2变量代换0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(y有理数点无理数点•1xo(3)狄利克雷函数(4)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg解23121301)3(xxxf212101)(xxxf122231xx]1,3[:fD故.)3(,212101)(的定义域求函数设xfxxxf例3(1)函数的单调性,,21Ixx21xx,时,)()(21xfxf若称)(xf为I上的,)()(21xfxf若称)(xf为I上的xy1x2x,,)(DIDxf区间的定义域为设函数单调增函数;单调减函数.三、函数的特性为周期函数，则称)(xf.)(的一个周期称为xfl,)(上定义在设函数Dxf,0l若)()(xflxf有定义,DlxDx且.为无穷区间说明周期函数的定义域D2l23l2l23l....xyo)(xfy(2)函数的周期性:的所有周期中存在在周期函数若)(xf最小的正，周期T.)(的为则称这个最小正周期xfT基本周期.周期都是指基本周期通常我们所说的函数的，有一个周期若)(xf.)(必有无穷多个周期则xf则的一个周期为事实上，若,)(xfl)()(lxfxf])[(llxf)2(lxf.)(nlxf.)()(的周期也是xfNnnlM-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX（3）函数的有界性:..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf函数𝑓(𝑥)无界,就是说对任何M,总存在𝑥1𝑋,使|𝑓(𝑥)|M.,Dx,Dxf(x)为偶函数(4)函数的奇偶性yx)(xf)(xfyox-x)(xf说明:若)(xf在x=0有定义,.0)0(f为奇函数时,则当必有yxexef(x)为奇函数有对于关于原点对称设,,DxDxyoxx𝑓−𝑥=−𝑓𝑥例4判断函数𝑓𝑥=𝑥𝑠𝑖𝑛1𝑥的奇偶性.解因为𝑓𝑥的定义域为−∞,0⋃0,+∞,关于原点对称。又因为𝑓−𝑥=−𝑥𝑠𝑖𝑛−1𝑥=𝑥𝑠𝑖𝑛1𝑥=𝑓𝑥所以，𝑓𝑥=𝑥𝑠𝑖𝑛1𝑥是偶函数.)(xfy函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数函数与反函数的图形关于直线对称.xy反函数的反函数，则是如果)()(1xfyyfx的反函数，也是)()(1yfxxfy或者说，.)()(1互为反函数与yfxxfy的定义)(xf，的值域域就是)(1yf)()(1yfxf的值域就是，且的定义域.,)(Dxyxf)()(11ffx.)(,)(1Dfyxyf)()(ffy表示因变量，表示自变量，习惯上，总是用yx的反函数一般记作：，所以，Dxxfy)(.)(,)(1Dfxxfy.)(,)(1Dfyyfx关系相同函数注意：求反函数的方法：.)(,)()(1Dfyyfxxfy中解出先从再按习惯写成：.)(,)(1Dfxxfy).0()()()(abaxfxfx反函数的互为反函数，求与设例解互为反函数，与)()(xfx有对一切x))((xf.x,)(baxfy设则))(()(baxfy,bax])([1byax.)(abay.)()(的反函数为故baxfabaxy四.初等函数基本初等函数（6类）：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.1.常值函数.Cy2.幂函数).(是常数xy3.指数函数),1,0(aaayx.xey4.对数函数),1,0(logaaxya.lnxy5.三角函数,sinxy,cosxy,tanxy,cotxy,secxy.cscxy6.反三角函数,arcsinxy,arccosxy,arctanxycotarc.xy由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成的并且可以用一个式子表示的函数,统称为初等函数.幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(三角函数正弦函数xysinxysinxycosxycos余弦函数正切函数xytanxytanxycot余切函数xycot5.反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数xyarccosxyarccos反余弦函数xyarctanxyarctan反正切函数xycot反余切函数arcxycotarc.!)()2(.1,,10,2)()1(nnfxxxxxf等函数？判断下列函数是否为初例解解析式表示，中不能用一个在其定义域),0[)()1(xf.)(不是初等函数xf不能表，而的定义域为nnNnf21!)()2(.增加的增大，运算的次数也的解析式，随复合函数经有限次运算示成基本初等函数及其n.)(不是初等函数nf五函数关系的建立•实际问题中，我们该怎样建立该问题的数学模型（函数关系）？1.分析问题中哪些是常量，哪些是变量；2.确定选取自变量和因变量；3.建立函数关系，给出定义域。小结•集合，区间，邻域的概念•函数的概念，二要素•函数的4个特性•初等函数定义域对应法则