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1/9第三节空间点、直线、平面之间的位置关系时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·安徽卷)在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析B是公理2，C是公理1，D是公理3，只有A不是公理．答案A2．已知平面外一点P和平面内不共线三点A，B，C，A′，B′，C′分别在PA，PB，PC上，若延长A′B′，B′C′，A′C′与平面分别交于D，E，F三点，则D，E，F三点()A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上解析D，E，F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，D，E，F共线．答案D3．已知空间中有不共线的三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．以上情况均有可能解析若三条线段共面，则直线AB与CD相交或平行；若不共2/9面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.答案D4．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析依题意，直线l∩α＝A(如图)．α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线，故选B.答案B5．(2014·桂林中学上学期期中)下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为()A．1B．23/9C．3D．4解析只有第四个图中的四点不共面．答案A6．(2013·江西卷)如下图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝()A．8B．9C．10D．11解析如下图，∵CE⊂平面ABPQ，CE∥平面A1B1P1Q1，∴CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，m＝4；∵EF∥平面BPP1B1，且EF∥平面AQQ1A1，∴EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，n＝4，故m＋n＝8，选A.答案A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β4/9③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案③④8．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________(把符合要求的命题序号都填上)．解析对于①可举反例，如AB∥CD，A，B，C，D没有三点共线，但A，B，C，D共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.答案②9．(2013·安徽卷)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P5/9为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0CQ12时，S为四边形②当CQ＝12时，S为等腰梯形③当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13④当34CQ1时，S为六边形⑤当CQ＝1时，S的面积为62解析对于①②，如图1，因为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，当CQ＝12时，PQ＝22，这时截面S交棱DD1于D1，AP＝D1Q＝52，且PQ∥AD1，截面S为等腰梯形，当CQ12时，截面S与棱DD1相交，截面S为四边形，故①②正确；对于③④⑤，如图2，延长QR交DD1的延长线于N点，连接AN交A1D1于M，取AD中点G，作GH∥PQ交DD1于H点，可得GH∥AN且GH＝12AN，设CQ＝t(0≤t≤1)，则DN＝2t，ND1＝2t－1，ND1C1Q＝D1RC1R＝2t－11－t，当t＝34时，D1RC1R＝21，可得C1R＝13，故③正确，当34t1时，S为五边形，故④错误，当t＝1时，M为A1D1的中点，S为菱形PC1MA，AC1＝3，MP＝2，S的面积为12·AC1·MP＝62，6/9故⑤正确．图1图2答案①②③⑤三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明(1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．7/911．已知空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，E，F分别是BC，AD上的点，并且BEEC＝AFFD＝，EF＝7，求AB和CD所成角的余弦值．解如图所示，在BD上取点G，使BGGD＝，连接EG，FG.在△BCD中，∵BEEC＝BGGD＝12，∴EG∥CD，且GECD＝3，同理FG∥AB，且FGAB＝，∴EG与FG所成的角即为AB与CD所成的角．在△BCD中，∵EG∥CD，CD＝3，且EGCD＝，∴EG＝1.在△ABD中，∵FG∥AB，AB＝3，FGAB＝，∴FG＝2.在△EFG中，EG＝1，FG＝2，EF＝7，由余弦定理得cos∠EGF＝EG2＋FG2－EF22EG·FG＝－12，∵异面直线所成角θ的范围是0°θ≤90°，∴cosθ≥0.∴AB与CD所成角的余弦值为12.8/912．(2013·湖南卷)如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．(Ⅰ)证明：AD⊥C1E；(Ⅱ)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．解(Ⅰ)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①，②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.(Ⅱ)因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，∠A1C1E＝60°.因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E.故C1E＝A1C1cos60°＝22，又B1C1＝A1C21＋A1B21＝2，所以B1E＝C1E2－B1C21＝2.从而V三棱锥C1—A1B1E＝13S△A1B1E×A1C1＝9/913×12×2×2×2＝23.