4高等数学课件(完整版)详细

例xxcossinxsin是xcos的原函数.)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.如果在区间I内，定义：可导函数)(xF的即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf导函数为)(xf，或dxxf)(在区间I内原函数.一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I内连续，简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例xxcossinxCxcossin（为任意常数）C那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.(2)若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，)()(xfxFCCxF)(都是)(xf的原函数.（2）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则CxGxF)()(（为任意常数）C证)()()()(xGxFxGxF0)()(xfxfCxGxF)()(（为任意常数）C任意常数积分号被积函数不定积分的定义：在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2xdxdy即)(xf是x2的一个原函数.,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xy函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线.显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知),()(xfdxxfdxd,)(])([dxxfdxxfd,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、基本积分表基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdx简写为.lnCxxdxdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxxdxsinh)14(;coshCxxdxcosh)15(;sinhCx例4求积分.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据积分公式（2）Cxdxx11dxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf证dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是常数，)0k例5求积分解.)1213(22dxxxdxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C例6求积分解.)1(122dxxxxxdxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112.lnarctanCxx例7求积分解.)1(21222dxxxxdxxxx)1(21222dxxxxx)1(12222dxxdxx22111.arctan1Cxx例8求积分解.2cos11dxxdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.例9已知一曲线)(xfy在点))(,(xfx处的切线斜率为xxsinsec2，且此曲线与y轴的交点为)5,0(，求此曲线的方程.解,sinsec2xxdxdydxxxysinsec2,costanCxx,5)0(y,6C所求曲线方程为.6costanxxy基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：)()(xfxF不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系四、小结思考题符号函数0,10,00,1sgn)(xxxxxf在内是否存在原函数？为什么？),(思考题解答不存在.假设有原函数)(xF0,0,0,)(xCxxCxCxxF但)(xF在0x处不可微，故假设错误所以在内不存在原函数.),()(xf结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.一、填空题：1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意两个的差是一个______；2、)(xf的________称为)(xf的不定积分；3、把)(xf的一个原函数)(xF的图形叫做函数)(xf的________，它的方程是)(xFy，这样不定积dxxf)(在几何上就表示________，它的方程是CxFy)(；4、由)()('xfxF可知，在积分曲线族CxFy)()(是任意常数C上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是______的；5、若)(xf在某区间上______，则在该区间上)(xf的原函数一定存在；练习题6、dxxx______________________；7、xxdx2_______________________；8、dxxx)23(2_________________；9、dxxx)1)(1(3_____________；10、dxxx2)1(=____________________.二、求下列不定积分：1、dxxx2212、dxxxx325323、dxx2cos24、dxxxx22sincos2cos5、dxxxx)11(26、xdxxxx2222sec1sin三、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程.四、证明函数xxexexeexxxxsinhcoshcoshsinh,212都是和的原函数.一、1、无穷多,常数；2、全体原函数；3、积分曲线,积分曲线族；4、平行；5、连续；6、Cx2552；7、Cx2332；8、Cxxx223323；9、Cxxxx2325332523、10、Cxxx252352342.练习题答案二、1、Cxxarctan；2、Cxx3ln2ln)32(52；3、Cxx2sin；Cxx)tan(cot.4；5、Cxx427)7(4；6、Cxarcxcottan.三、Cxyln.问题xdx2cos,2sinCx解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令xt2,21dtdxxdx2cosdttcos21Ctsin21.2sin21Cx一、第一类换元法在一般情况下：设),()(ufuF则.)()(CuFduuf如果)(xu（可微）dxxxfxdF)()]([)]([CxFdxxxf)]([)()]([)(])([xuduuf由此可得换元法定理设)(uf具有原函数，dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将dxxg)(化为.)()]([dxxxf观察重点不同，所得结论不同.)(xu可导，则有换元公式定理1例1求.2sinxdx解（一）xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cx解（二）xdx2sinxdxxcossin2)(sinsin2xxd;sin2Cx解（三）xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cx例2求.231dxx解,)23(23121231xxxdxx231dxxx)23(23121duu121Culn21.)23ln(21Cxdxbaxf)(baxuduufa])([1一般地例3求.)ln21(1dxxx解dxxx)ln21(1)(lnln211xdx)ln21(ln21121xdxxuln21duu121Culn21.)ln21ln(21Cx例4求.)1(3dxxx解dxxx3)1(dxxx3)1(11)1(])1(1)1(1[32xdxx221)1(2111CxCx.)1(21112Cxx例5求.122dxxa解dxxa221dxaxa222111axdaxa2111.arctan1Caxa例6求.25812dxxx解dxxx25812dxx9)4(12dxx13413122341341312xdx.34arctan31Cx例7求.11dxex解dxex11dxeeexxx11dxeexx11dxeedxxx1)1(11xxededx.)1ln(Cexx例8求.)11(12dxexxx解,1112xxxdxexxx12)11()1(1xxdexx.1Cexx例9求.12321dxxx原式dxxxxxxx123212321232dxxdxx12413241)12(1281)32(3281xdxxdx.121213212133Cxx例10求解.cos11dxxdxxcos11dxxxxcos1cos1cos1dxxx2cos1cos1dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx例11求解.cossin52xdxxxdxx52cossin)(sincossin42xxdx)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例12求解.2cos3cosxdxx)],cos()[cos(21coscosBABABA),5cos(cos212cos3cosxxxxdxxxxdxx)5cos(cos212c