5高等数学课件(完整版)详细

abxyo?A曲边梯形由连续曲线实例1（求曲边梯形的面积）)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.一、问题的提出)(xfyabxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放曲边梯形如图所示，,],[1210bxxxxxabann个分点，内插入若干在区间abxyoiix1x1ix1nx;],[],[11iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间，上任取一点在每个小区间iiixx],[1iiixfA)(为高的小矩形面积为为底，以)(],[1iiifxxiniixfA)(1曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(lim10时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21nxxx曲边梯形面积为实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割212101TtttttTnn1iiitttiiitvs)(部分路程值某时刻的速度（2）求和iinitvs)(1（3）取极限},,,max{21ntttiniitvs)(lim10路程的精确值设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，二、定积分的定义定义怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.（3）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，而与积分变量的字母无关.称)(xf在区间],[ba上可积.当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，称)(xf在区间],[ba上可积.且只有有限个间断点，则)(xf在三、存在定理区间],[ba上可积.,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba四、定积分的几何意义几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx,)(例1利用定义计算定积分.102dxx解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)小区间],[1iixx的长度nxi1，(ni,,2,1)取iix，(ni,,2,1)iinixf)(1iinix21,12iniixxnnini121niin12316)12)(1(13nnnn,121161nnn0dxx102iinix210limnnn121161lim.31例2利用定义计算定积分.121dxx解在]2,1[中插入分点12,,,nqqq,典型小区间为],[1iiqq，（ni,,2,1）小区间的长度)1(11qqqqxiiii,取1iiq，（ni,,2,1）iinixf)(1iniix11)1(1111qqqiniiniq1)1()1(qn取2nq即nq12),12(1nn)12(lim1xxxxxx112lim1,2ln)12(lim1nnn,2lndxx211iniix101lim)12(lim1nnn.2lniinixf)(1例3设函数)(xf在区间]1,0[上连续，且取正值.证明nnnnfnfnf21limnnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf21lim试证.10)(lndxxfe利用对数的性质得nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1指数上可理解为：)(lnxf在]1,0[区间上的一个积分和．分割是将]1,0[n等分分点为nixi，（ni,,2,1）nnnnfnfnfe21lnlim极限运算与对数运算换序得nnifnin1lnlim110)(lndxxf故nnnnfnfnf21lim.10)(lndxxfe因为)(xf在区间]1,0[上连续，且0)(xf所以)(lnxf在]1,0[上有意义且可积,五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限思考题将和式极限：nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分.思考题解答原式nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1limninnin1sin1limnninin1sinlim1.sin10xdxixi一、填空题：1、函数)(xf在ba,上的定积分是积分和的极限，即badxxf)(_________________.2、定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关.3、定积分的几何意义是_______________________.4、区间ba,长度的定积分表示是_____________.二、利用定积分的定义计算由抛物线,12xy两直线)(,abbxax及横轴所围成的图形的面积.三、利用定积分的定义计算积分baxdx，)(ba.练习题四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：1、41102dxx;2、2022cos2cosxdxxdx;一、1、niiixf10)(lim；2、被积函数,积分区间,积分变量；3、介于曲线)(xfy,轴x,直线bxax,之间各部分面积的代数和；4、badx.二、abab)(3133.三、)(2122ab.练习题答案对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、基本内容证badxxgxf)]()([iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10badxxf)(.)(badxxgbadxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数).证badxxkf)(iinixkf)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10.)(badxxfk性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,例若,cbacadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）则假设bca性质3dxba1dxbaab.则0)(dxxfba.)(ba证,0)(xf,0)(if),,2,1(ni,0ix,0)(1iinixf},,,max{21nxxxiinixf)(lim10.0)(badxxf性质4性质5如果在区间],[ba上0)(xf，例1比较积分值dxex20和dxx20的大小.解令,)(xexfx]0,2[x,0)(xf,0)(02dxxexdxex02,02dxx于是dxex20.20dxx性质5的推论：证),()(xgxf,0)()(xfxg,0)]()([dxxfxgba,0)()(babadxxfdxxg于是dxxfba)(dxxgba)(.则dxxfba)(dxxgba)(.)(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba)(.)(ba证,)()()(xfxfxf,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa即dxxfba)(dxxfba)(.说明：可积性是显然的.|)(xf|在区间],[ba上的性质5的推论：（2）设M及m分别是函数证,)(Mxfm,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba（此性质可用于估计积分值的大致范围）则)()()(abMdxxfabmba.)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值，性质6例2估计积分dxx03sin31的值.解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx例3估计积分dxxx24sin的值.解,sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf2)tan(cosxxxx]2,4[x,0)(xf在]2,4[上单调下降,故4x为极大点，2x为极小点,,22)4(fM,2)2(fm,442ab,422sin4224dxxx.22sin2124dxxx如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，证Mdxxfabmba)(1)()()(abMdxxfabmba由闭区间上连续函数的介值定理知则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf.)(ba性质7（定积分中值定理）积分中值公式在区间],[ba上至少存在一个点，使,)(1)(badxxfabfdxxfba)())((abf.)(ba