搜索
第18讲相似三角形2考题·初做诊断考点一考点二考点三考点一比例线段及比例的性质1.定义在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例线段,简称比例线段.2.比例的基本性质(1)如果𝑎𝑏=𝑐𝑑,则ad=bc;(2)如果𝑎𝑏=𝑐𝑑,ac≠0,那么𝑏𝑎=dc;(3)如果𝑎𝑏=𝑐𝑑,那么𝑎±𝑏𝑏=c±dd;(4)如果𝑎𝑏=𝑐𝑑=…=𝑚𝑛(b+d+…+n≠0),那么𝑎+𝑐+…+𝑚𝑏+𝑑+…+𝑛=𝑎𝑏.3考题·初做诊断考点一考点二考点三3.平行线分线段成比例(1)两条直线被一组平行线所截,如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等.(2)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图(1),直线a∥b∥c,则𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐴1𝐵1𝐵1𝐶1.图(1)4考题·初做诊断考点一考点二考点三(3)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图(2),在△ABC中,DE∥BC,则图(2)𝐴𝐷𝐷𝐵=𝐴𝐸𝐸𝐶.4.黄金分割一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果𝐶𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐶𝐴𝐵,那么称点C叫做AB的黄金分割点.AC和AB的比叫做黄金比𝐴𝐶𝐴𝐵=-1+52或𝐴𝐶≈0.618𝐴𝐵.5考题·初做诊断考点一考点二考点三考点二相似三角形(高频)1.相似三角形的性质及判定性质(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应的高线、中线、角平分线的比等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方判定(1)两角分别相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似;(5)顶角相等的两等腰三角形相似6考题·初做诊断考点一考点二考点三2.三角形相似的判定思路和几种常见的图形有平行截线——用平行线的性质,找等角有一对等角,找另一个等角,该角的两边对应成比例有两边对应成比例,找夹角相等,第三边也对应成比例,有一对直角直角三角形,找一对锐角相等,斜边、直角边对应成比例等腰三角形,找顶角相等,一对底角相等,底和腰对应成比例7考题·初做诊断考点一考点二考点三几种常见的图形1.“A”字型DE∥BC2.“X”字型AB∥CD3.斜交型∠AED=∠B4.蝴蝶型∠A=∠D或∠B=∠C5.双垂图AB⊥AC,且AD⊥BC6.双垂图拓展型∠CAD=∠B注:对于双垂图有:①AB2=BD·BC;②AC2=CD·BC;③AD2=BD·CD;对于拓展型仅有AC2=CD·BC8考题·初做诊断考点一考点二考点三考点三相似多边形及其性质1.定义对应角相等,对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质(1)相似多边形的对应边成比例;(2)相似多边形的对应角相等;(3)相似多边形的周长比等于相似比,相似多边形的面积比等于相似比的平方.9考法·必研突破命题点命题点相似三角形的判定与性质1.(2016·安徽,8,4分)如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为(B)A.4B.42C.6D.43解析由∠B=∠DAC,又找到公共角∠C,得出△CAD∽△CBA,∴𝐴𝐶𝐵𝐶=𝐶𝐷𝐴𝐶,∵AD是中线,∴CD=12BC=4,∴𝐴𝐶8=4𝐴𝐶,解得AC=42,故选B.10考法·必研突破命题点2.(2013·安徽,13,5分)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2=8.11考法·必研突破命题点解析过P作PQ∥DC交BC于点Q,由DC∥AB,得到PQ∥AB,∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形,∴△PDC≌△CQP,△ABP≌△QPB,∴S△PDC=S△CQP,S△ABP=S△QPB,∵EF为△PCB的中位线,∴EF∥BC,EF=BC,∴△PEF∽△PBC,且相似比为1∶2,∴S△PEF∶S△PBC=1∶4,∵S△PEF=2,∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8.1212考法·必研突破命题点3.(2015·安徽,23,14分)如图1,在四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接AG,BG,CG,DG,且∠AGD=∠BGC.(1)求证:AD=BC;(2)求证:△AGD∽△EGF;(3)如图2,若AD,BC所在直线互相垂直,求的值.𝐴𝐷𝐸𝐹13考法·必研突破命题点(1)证明∵GF是CD的垂直平分线,∴GD=GC.同理GA=GB.在△AGD和△BGC中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC,∴△AGD≌△BGC,∴AD=BC.4分(2)证明∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC.∵AG=BG,DG=CG,且E,F分别为AB,CD的中点,∴∠AGE=12∠AGB,∠DGF=12∠CGD,∠AEG=∠DFG=90°.∴∠AGE=∠DGF,∴Rt△AGE∽Rt△DGF,∴∠AGD=∠EGF,𝐴𝐺𝐺𝐸=𝐺𝐷𝐺𝐹,∴△AGD∽△EGF.8分14考法·必研突破命题点(3)解如图,延长AD交BC的延长线于点M,∵AD,BC所在的直线互相垂直,∴∠DAB+∠ABC=90°,即∠DAB+∠ABG+∠GBC=90°.∵△AGD≌△BGC,∴∠GAD=∠GBC,∴∠DAB+∠ABG+∠GAD=90°,即∠GAB+∠GBA=90°.又∵∠GAB=∠GBA,∴∠GAB=45°.由(2)得△AGD∽△EGF,∴𝐴𝐷𝐸𝐹=𝐺𝐴𝐺𝐸=2.14分15考法1考法2考法3考法1比例线段及比例的性质例1(2017·黑龙江哈尔滨)如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC边上的点,DE∥BC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G,则下列结论中一定正确的是()A.𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐸𝐶B.𝐴𝐺𝐺𝐹=𝐴𝐸𝐵𝐷C.𝐵𝐷𝐴𝐷=𝐶𝐸𝐴𝐸D.𝐴𝐺𝐴𝐹=𝐴𝐶𝐸𝐶16考法1考法2考法3答案:C解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶,故A错误;∵DE∥BC,∴𝐴𝐺𝐺𝐹=𝐴𝐸𝐸𝐶,故B错误;∵DE∥BC,∴𝐵𝐷𝐴𝐷=𝐶𝐸𝐴𝐸,故C正确;∵DE∥BC,∴△AGE∽△AFC,∴𝐴𝐺𝐴𝐹=𝐴𝐸𝐴𝐶,故D错误.方法总结应用平行线分线段成比例定理时要注意“对应”一词的含义,为减少错误,应用时可把在同一条直线上被截得的两条线段安排在一个比例式中.17考法1考法2考法3对应练1(2018·四川乐山)如图,DE∥FG∥BC,若DB=4FB,则EG与GC的关系是(B)A.EG=4GCB.EG=3GCC.EG=GCD.EG=2GC52解析:∵DE∥FG∥BC,∴𝐷𝐵𝐵𝐹=𝐸𝐶𝐶𝐺.∵DB=4FB,∴𝐷𝐵𝐵𝐹=𝐸𝐶𝐶𝐺=41,∴EC=4CG.∴EG=3GC,故选B.18考法1考法2考法3对应练2(2017·黑龙江大庆)如图,AD∥BC,AD⊥AB,点A,B在y轴上,CD与x轴交于点E(2,0),且AD=DE,BC=2CE,则BD与x轴交点F的横坐标为(A)A.23B.34C.45D.5619考法1考法2考法3解析:设AD=DE=a,BC=2CE=2b,由已知可得2-𝑎2𝑏-𝑎=𝑎𝑎+𝑏,整理得𝑎𝑏𝑎+𝑏=23,由题意得𝑂𝐹𝐴𝐷=𝐵𝐹𝐵𝐷=𝐶𝐸𝐶𝐷,即𝑚𝑎=𝑏𝑎+𝑏,所以m=𝑎𝑏𝑎+𝑏=23.故选A.20考法1考法2考法3对应练3(2018·广西梧州)如图,AG∶GD=4∶1,BD∶DC=2∶3,则AE∶EC的值是(D)A.3∶2B.4∶3C.6∶5D.8∶521考法1考法2考法3解析:过点D作DF∥CA交BE于F,如图.∵DF∥CE,∴𝐷𝐹𝐶𝐸=𝐵𝐷𝐵𝐶,而BD∶DC=2∶3,∴𝐷𝐹𝐶𝐸=25,则CE=52DF.∵DF∥AE,∴𝐷𝐹𝐴𝐸=𝐷𝐺𝐴𝐺,∵AG∶GD=4∶1,∴𝐷𝐹𝐴𝐸=14,则AE=4DF,∴𝐴𝐸𝐸𝐶=4𝐷𝐹52𝐷𝐹=85.故选D.22考法1考法2考法3考法2相似三角形的判定与性质例2(2017·浙江杭州)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.(1)求证:△ADE∽△ABC;(2)若AD=3,AB=5,求的值.分析:(1)先根据AF⊥DE,AG⊥BC,进一步推出∠AEF=∠C,利用两角对应相等,两三角形相似,得出△ADE∽△ABC;(2)由△ADE∽△ABC可得出∠ADE=∠B,从而△AFD∽△AGB,利用相似三角形对应边成比例求得的值.𝐴𝐹𝐴𝐺𝐴𝐹𝐴𝐺23考法1考法2考法3(1)证明:∵AF⊥DE于点F,AG⊥BC于点G,∴∠AFE=90°,∠AGC=90°.∴∠AEF=90°-∠EAF,∠C=90°-∠GAC,又∵∠EAF=∠GAC,∴∠AEF=∠C.又∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC.(2)解:∵△ADE∽△ABC,∴∠ADE=∠B.又∵∠AFD=∠AGB=90°,∴△AFD∽△AGB.∴𝐴𝐹𝐴𝐺=𝐴𝐷𝐴𝐵.∵AD=3,AB=5,∴𝐴𝐹𝐴𝐺=35.24考法1考法2考法3方法总结利用相似三角形证明等积线段的基本思路:先把等积线段转化为比例线段,再找出与比例线段中的线段有关的两个三角形,然后再证明这两个三角形相似,利用“相似三角形对应边成比例”即可推出结论.在此,寻找并证明两个三角形相似是解题的关键,寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”,即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法.具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“横定”;若不能,再看每个比的前后两项的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“竖定”.25考法1考法2考法3对应练4(2018·广西贵港)如图,在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则S△ABC=(B)A.16B.18C.20D.24解析:设△AEF的面积为S,则△ABC的面积为16+S,由于在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE,所以𝑆16+𝑆=𝐴𝐸𝐴𝐵2=132=19,解得S=2,所以S△ABC=16+2=18,故选B.26考法1考法2考法3对应练5(2018·湖南邵阳)如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形:△ADF∽△ECF或△EBA∽△ECF或△ADF∽△EBA(任意写一对即可).解析:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,所以△ADF∽△ECF;因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,所以△EBA∽△ECF;因为△ADF∽△ECF∽△EBA,所以△ADF∽△EBA.27考法1考法2考法3证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,∠DEF=∠B,∴∠CEF=∠BDE.∴△BDE∽△CEF.(2)由(1)得𝐵𝐸𝐶𝐹=𝐷𝐸𝐸𝐹.∵E是BC的中点,∴BE=CE.∴𝐶𝐸𝐶𝐹=𝐷𝐸𝐸𝐹,即𝐶𝐸𝐷𝐸=𝐶𝐹𝐸𝐹.∵∠C=∠DEF,∴△EDF∽△CEF.∴∠CFE=∠EFD,即FE平分∠DFC.对应练6(2017·江苏宿迁)如图,在△