考研线代复习资料

本章主要内容1、排列的一些性质；2、n阶行列式的定义、性质和计算；3、克莱姆法则.学习重点行列式的性质与计算.1.1.1全排列及其逆序数现约定,这里所说的n个元素是指从1至n这n个自然数.我们规定由小到大的排列顺序为标准顺序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说排列中有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.!nPn种排法.我们知道，将n个不同元素排成一列共有如排列32514的逆序数为，是排列.显然，标准排列为偶排列.逆序数为奇数的排列叫做奇排列；逆序数为偶数的排列叫做偶排列.设是1,2,…,n这n个自然数的一个排列，称排在元素之前且比大的数字的个数为元素的逆序数.ipipnppp21ipit结论：设是1，2，…，n这n个自然数的一个排列，若元素的逆序数是，则此排列的逆序数为.itnppp21ipniitt1逆序数的计算5奇例1求排列3421的逆序数.的逆序数.)2(24)12(13nn例2求排列（思考：这个排列的奇偶性如何？）)1(211)2()1(nnnnt解：逆序数为t=0+0+2+3=5，为奇排列.当n=4k，4k+1时，为偶排列，当n=4k+2，4k+3时，为奇排列.解：逆序数为1.1.2排列的对换及其性质前面，我们讨论了排列的逆序数，这里我们来讨论排列的对换及其对排列的奇偶性的影响.nijppnjippppppppji11将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.在排列中，将其中任意两个元素对调，其余元素位置不动,就得到另一个排列，这样一个变换叫做排列的对换,如下面，我们讨论对换与排列的奇偶性关系.定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性（对换改变排列的奇偶性）.证：先证相邻对换的情形mlbabbaa11设原排列为ba,对换后得mlbbabaa11当时，对换后，的逆序数增加1，而的逆序数不变，其余元素的逆序数不变；baab当时，对换后，的逆序数不变，而baab的逆序数减少1，其余元素的逆序数不变.故知，mlbbabaa11mlbabbaa11排列与排列的奇偶性不同，即相邻对换改变排列的奇偶性.再证一般对换的情形：这可看成是经过一系列相邻对换而得到：nmlnmlnmlcacbbbaamccbabbaamcbcbabaa1111111111次相邻对换经次相邻对换经nmlcbcbabaa111设原排列为ba,nmlcacbbbaa111对换后为注意相邻对换的次数共2m+1次，故排列的奇偶性发生改变.证毕推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证：易证（这里省略）.有了以上关于排列的逆序数知识，我们就可以讨论行列式的定义及其性质.为了更好地理解一般的n阶行列式定义，我们先分析一下二、三阶行列式的计算方法.为了要定义n阶行列式，我们先来考察二阶、三阶行列式.22211211aaaa333231232221131211aaaaaaaaa分别为二阶、三阶行列式，其计算规则如下：称记号1.2.1二阶、三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa2112221122211211aaaaaaaa此称为对角线法则（*）几点注意：1.(*)式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于行列式的不同的行、不同的列；t)1(3.各项的符号确定：带正号的三项列标排列是：123，231，312都是偶排列；带负号的三项列标排列是：132，213，321都是奇排列.因此各项的符号可以表示为,其中t为列标排列的逆序数.321ppp2.等式右端的任一项除符号外可以写成，这里行标成标准排列123，列标是1,2,3三个数的某个排列，等式右端共有6(=3!)项.321321pppaaa321321333231232221131211)1(ppptaaaaaaaaaaaa其中t为列标排列的逆序数，∑表示对1，2，3三个数的所有排列取和.321ppp仿上，我们可以定义n阶行列式:综上知，三阶行列式可以写成：注：以上定义式也称为行列式的行顺序表示法.nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaa2121212222111211)1(其中为自然数1,2,…,n的一个排列，t为这个排列的逆序数，∑表示对1，2，…，n的所有排列取和.nppp21定义n阶行列式1.2.2n阶行列式的定义关于定义,请注意以下几点：①n阶行列式是由n!项组成的，结果是一个数.②定义式的右边每一项都是n个元素的乘积（称为一个乘积项）,这n个元素是由行列式的不同行、不同列的元素构成的.③某一乘积项符号的确定：先把该项的n个元素按行标排成标准顺序，然后由列标所成排列的奇偶性来决定这一项的符号.nnnnnnijaaaaaaaaaaD212222111211)(下面，我们举几个例子，大家要注意：一是这些例子是怎样计算或证明的；二是要记住例子的结论.常记ija)(ija数称为行列式的元素.例１证明对角行列式nnnnnn212)1(212121)1(证:第一式是显然的，为证第二式，我们记除对角线上元素可能不为零外，其它元素皆为零11,2121nnnnaaa11,2211,,,nnnnaaa于是ntnnntaaa2111,21)1()1(,2)1(nnt21)1(nn其中t为排列的逆序数，故所以结论成立.证明下三角行列式nnnnnnaaaaaaaaaD221121222111例２（教材P5例3）证:D中可能不为0的项只有.2211nnaaaD1)1()1(0t此项的符号，所以nntaaa2211)1(对角线上方的元素全为零nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD1111111111110kkkkijaaaaaD11111)(nnnnijbbbbbD11112)(.21DDD例３（教材P6例4）设证明证：记,其中：)(ijdDnkkkrnkrkkrrrlddddd,,121121)1(考察D的一般项，),,1,,,1(njniijjkikbd,ijijad),,1,,,1(kjki由于，当时，.因此只能在中选取，该项才可能不为零，而当在中选取时，只能在中选取,D中可能不为零的项，可以记作0ijdkrr1krr1k1k1kjki,nkk,,1nkkrr,,1这里，而为排列krqrpikiii,lnknqqkpplbbaa1111)1(nkkkrrrr11st,kpp1nqq1stl以分别表示排列及的逆序数，应有，于是有)()(11nkqkqkpp也即的逆序数.nkkkrnkrkkrrlddddD,,1111)1(□knknppnqqkppqqstbbaa111111)1(knnkppqqnqqskpptbbaa1111])1([)1(112111)1(Daakkppkppt21DD1.2.3行列式的列顺序表示法结论调换行列式的乘积项中两元素的次序，行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性．下面给出结论的证明．(*))1(111nnppnpptaaD在行列式的定义式中，一般项是按行标成标准顺序排列的，故（*）式也称为行列式的行顺序表示．事实上行列式也可以按列顺序表示，为此我们先介绍如下结论：njinpjpippaaaa11证：设有乘积项对换元素ijipjpaa,nijnpipjppaaaa11后，得结论调换行列式的乘积项中两元素的次序，行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性．tr列标排列的逆序数设为行标排列的逆序数设为11tr列标排列的逆序数设为行标排列的逆序数设为由于与的奇偶性相反，与的奇偶性也相反，故与有相同的奇偶性.1r1t11trrttr易知对于D中任一项，在D1中总有且只有一项与其对应并相等，反之亦然．也即D与D1中的项一一对应并相等，从而D=D1．nnppptaaa2121)1(定理2(列顺序表示法)n阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数.nqqqsnaaaD2121)1(nqqq21nnppptaaaD2121)1(证：由定义，有nqqqsnaaaD21121)1(记s１.在6阶行列式中，的项应带什么符号？２.证明若行列式中有一行（或一列）元素全为0，则行列式等于0．425665311423aaaaaa3.证明：在所有n（n1）个元素的排列中，奇偶排列各占一半．1.在6阶行列式中，的项应带什么符号？425665311423aaaaaa问：本题还有其它解法吗？，其列标排列为431265，逆序数t=0+1+2+2+0+1=6故本项应带正号．425665311423aaaaaa655642312314aaaaaa解：将按行标排成标准顺序得0,,0,021iniiaaaninpiPptaaaD11)1(２．证明若行列式中有一行（或一列）元素全为0，则行列式等于0．证毕于是i证：不妨设行列式的第行元素全为零，即nnpptaa0)1(1103.证明在所有n（n1）个元素的排列中，奇偶排列各占一半．n,,2,1njipppp1).1(2!nnjipp,nijpppp1□证：对的任一个排列来说，必然有一个排列与之对应（后者仅是由前者将对换而得），若其中一个为偶排列，另一个必然为奇排列，反之亦然，故在全部排列中，奇偶排列两两配对，从而奇偶排列的个数必然相等，各为CanYouAnswerThem?练习(教材P8)1.2.)(987654321)(?012多少开式中为零的项至少有按定义的展问是五阶行列式其中设DaD024