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2．2．1用样本的频率分布估计总体的分布目的要求通过实例体会分布的意义和作用，在表示数据的过程中，学会列出频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点。教学过程1．实例引课为了解某地区女中学生的身体发育情况，不仅要了解其平均身高，还要了解身高在哪个范围内的学生多，哪个范围内的学生少．为了解某次考试成绩，不仅应知道平均成绩，还应知道90分以上占多少，80分～90分占多少，……，不及格占多少等．要解决上面的两个问题，需要从总体中得到一个包含大量数据的样本，并且把这些数据形成频率分布，就可以比较清楚地看出样本数据的特征，从而估计总体的分布情况。2．引出课题：用样本的频率分布估计总体的分布看下面的例子某钢铁加工厂生产内径为25．40mm的钢管，为了掌握产品的生产状况，需要定期对产品进行检测。又由于产品的数量巨大，不可能一一检测所有的钢管，因而通常采用随机抽样的办法。如果把这些钢管的内径看成总体，我们可以从中随机抽取的100件钢管进行检测，把这100件钢管的质量分布情况作为总体的质量分布情况来看待。根据规定，钢管内径的尺寸在区间25.325～25.475内为优等品，我们特别希望知道所有生产的钢管中优等品所占的比例，这时就可以用样本的分布情况估计总体的分布情况。下面的数据是一次抽样中的100件钢管的内径尺寸：(幻灯示)．25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.3925.4225.4725.3525.4125.4325.4425.4825.4525.4325.4625.4025.5125.4525.4025.3925.4125.3625.3825.3125.5625.4325.4025.3825.3725.4425.3325.4625.4025.4925.3425.4225.5025.3725.3525.3225.4525.4025.2725.4325.5425.3925.4525.4325.4025.4325.4425.4125.5325.3725.3825.2425.4425.4025.3625.4225.3925.4625.3825.3525.3125.3425.4025.3625.4125.3225.3825.4225.4025.3325.3725.4125.4925.3525.4725.3425.3025.3925.3625.4625.2925.4025.3725.3325.4025.3525.4125.3725.4725.3925.4225.4725.3825.39上面的100个数据有点散乱，从中很难看出产品质量的分布情况，必须对样本数据用统计的方法加以概括和整理。下面我们列出这组样本数据的频率分布表、频率分布直方图，步骤如下：（1）计算级差（一组数据中最大值与最小值的差）25.26－25.24＝0.32（2）决定组距与组数（样本容量不超过100时，组数常分为5～12组）如果组距定为0.03，那么级差/组距＝0.32/0.03＝102/3于是应将样本数据分成11组（组距还可以定为其他的数值）（3）决定分点将第1组的起点定为25.235，组距为0.03，这样所分的11个组是：［25.235，25.265］［25.265，25.295］……（4）列频率分布表分组个数累计频数频率25.235～25.265110.0125.265～25.295220.0225.295～25.325550.0525.325～25.35512120.1225.355～25.38518180.1825.385～25.41525250.2525.415～25.44516160.1625.445～25.47513130.1325.475～25.505440.0425.505～25.535220.0225.535～25.565220.02合计1001001.00（5）绘制频率分布直方图注：（1）小长方形的面积＝组距×频率／组距＝频率各长方形的面积总和等于1（2）从频率分布表或频率分布直方图容易看出，优等品所占的比例等于0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84，于是可以估计出所有生产的钢管中有84%的优等品。（3）用样本的频率分布估计总体的分布时，要使样本能够很好的反映总体的特性，必须随机抽样。由于抽样的随机性，可以想到，如果随机抽取另外一个容量为100的样本，所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同。但是，它们都可以近似地看作总体的分布。（4）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体态势，但是直方图本身得不出原始的数据内容。所以，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。3．频率分布折线图把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到分布折线图。4．总体密度曲线频率分布直方图表明了所抽取的100件产品中，尺寸落在各个小组内的频率大小．样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，则频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．总体密度曲线能够更好的反映总体在各个范围内的百分比，能够提供更准确的信息。根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a,x=b及x轴所围图形的面积．5．茎叶图常用的统计图表还有茎叶图，下面的例子就是用茎叶图表示数据。例：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50。乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51。注：中间的数字表示得分的十位数字。旁边的数字分别表示两个人得分的个位数字从上面这个茎叶图上可以看出，甲运动员的得分情况是大致对称的，中位数是36；乙运动员的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是26。因此甲运动员的发挥比较稳定，总体得分情况比乙运动员好。用茎叶图表示数据有两个突出的优点，一是从统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛是随时记录，方便记录与表示。但茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，虽然可以表示两个人以上的比赛结果（或两个以上的记录），但没有表示两个记录那么直观、清晰。6．课堂练习1)、对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是（）（A）频率分布直方图与总体密度曲线无关（B）频率分布直方图就是总体密度曲线012345834636838915254976611940甲乙（C）样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线（D）如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线2)、在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是（）（A）总体容量越大，估计越精确（B）总体容量越小，估计越精确（C）样本容量越大，估计越精确（D）样本容量越小，估计越精确3)、10个小球分别编有号码1，2，3，4，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，数0.4是指1号球占总体分布的（）（A）频数（B）概率（C）频率（D）累计频率4)、已知样本：12711121112101098131210961189810那么频率为0.25的样本的范围是（）（A）（B）（C）（D）5)、频率分布直方图中，小长方体的面积等于（）（A）相应各组的频数（B）相应各组的频率（C）组数（D）组距6)、在总体密度曲线中，总体在区间（a，b）内取值的概率就是直线______、_______、_______和总体密度曲线围成的图形的面积.7)、对100位大学毕业生在该年七月份求职录取情况调查结果如下：20人录取在行政机关，31人录取在公司，3人录取在银行，18人录取在学校，其余的还在求职中.那么七月份这100位大学生还未被录取的概率为_______________.8)、一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别为30和0.25，则n=_______________.9)分组频数频率[10．75，10．85）3[10．85，10．95）9[10．95，11．05）13[11．05，11．15）16[11．15，11．25）26[11．25，11．35）20[11．35，11．45）7[11．45，11．55）4[11．55，11．65）2合计100(1)完成上面的频率分布表．(2)根据上表，画出频率分布直方图．(3)根据上表，估计数据落在[10．95，11．35)范围内的概率约为多少?解：(1)(2)略．(3)数据落在[10．95，11．35]范围的频率为0．13+0．16十0．26+0．20落在[10．95，11．35]内的概率约为0．75．10）教科书第67页练习B第2、3题．7．归纳小结①获得样本的频率分布的步骤：(1)求最大值与最小值的差；(2)确定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图.②图形优点缺点频率分布直方图1）易表示大量数据2）直观的反映分布的情况都是一些信息茎叶图1）无信息损失2）随时记录，方便记录和表示只能处理样本容量较小数据8．布置做业教科书第69页练习A第3、4题