全国生数学建模竞赛讲座

第4讲综合讲座1东南大学数学系陈恩水讲座内容C题卫星和飞船的跟踪测控题目背景测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域；实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域；一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：1.在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？相关信息关于第一问假设地球是球体，球半径R。卫星或飞船轨道是圆心为地球球心的圆。卫星或飞船在地面上高度为H的圆上运行。n表示测控站个数。*RHsin(18093*)sin93*87arcsin(sin93)3602*RRHRRHn一般结果：或者给出不同n的H的范围。模型二假设：地球是半径为R球体，卫星在椭球面上运行。近地点高度为h,远地点高度为H。球心位于椭球的焦点上。卫星轨道是椭圆，测控站与卫星轨道共面。卫星轨道长半轴为a,短半轴为b,焦距为c。卫星轨道椭圆方程：地球球面圆方程：cos(02)sinxaybcos(02)sinxcRyR22()/2,aRHhbac向量：由夹角余弦公式得(coscos,sinsin),(cos,sin)iijijiijiPQacRbaROPRR22coscossinsincossin3(coscos)(sinsin)abRcacRbR令：给出了测控站位置与测控临界位置点关系；给出了两者中的一个就可以求出第二个。22(,)coscossinsincossin3(coscos)(sinsin)FabRcacRbR利用迭代法计算测控站个数n流程如下：(0.1994,0.6473,1.1091,1.5879,2.0832,2.5907,3.1030)(,2.5986,2.0737,1.5784,1.1168,0.6835,0.2734,0)共需14个测控站！关于第二问（假设卫星在球面上）1.星下线方程及其轨迹坐标变换公式为：设卫星轨道参数方程为1111cossin0sincos0001xttXyttYzZ222()cos()cossin()sinsinXRHtYRHtZRHt则在地球坐标系下的方程为2111122coscossin0()sincos0cossin001sinsintxttyRHtttzt在地球上的投影（星下线参数方程）2111122coscossin0sincos0cossin001sinsintxttyRtttzt否则先考虑相邻两层的测控范围，记1231(,,),(,,)(,/2,)iiiiiiPRPRPR，-10-505101520-10-505101520P1P2P3P11P1211112221(,/2,),(,/2,),()iiiiPRPR11222211111(coscos,cossin,sin),(cos(/2)cos,cos(/2)sin,sin)(cos(/2)cos,cos(/2)sin,sin)iiiiiiiiiiiiiiiOPRRROPRRROPRRR11,jOPOP夹角为cos*coscoscoscos(/2)cossincossin(/2)sinsiniiijiiiijiiij1,2j12*ii记(,,)coscoscoscos(/2)cossincossin(/2)sinsincos*coscoscos(/2)sinsincos*iiiiiiiiiiif则其数学模型为：离散优化问题。ninnm21,222211111121..(,,)0,1,2,,*2,,,1,2,,**,***,(**)/*360/iiiiiiimstfimimimmn，，*87arcsin(sin93)RRH360/2*n如果m=3,n=18因为测控范围是对称区间，可以考虑测控站对称分布，即第一层的测控站分布在赤道上。1222212.0378,27.6419,41.0123不能全范围测控，全程测控需要的测控站数超过54个!2.m=4,n=13测控范围[-46.644,46.644]1,23,48,31.3604综上，52个测控站即能实现全程测控。5,12mn