初四数学总复习精品 第十一讲 平面直角坐标系与函数初步

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结合近几年中考试题分析,对平面直角坐标系内容的考查主要有以下特点:1.命题方式为平面直角坐标系中图形的位置的确定,用坐标表示图形的平移,用图象刻画函数,用函数揭示变量的关系的考查.题型主要以选择题、填空题为主.2.命题的热点为运用数形结合思想确定平面内图形的位置,运用函数思想研究变量之间存在的规律.1.平面直角坐标系的建立是研究函数及运用数形结合思想的主要手段,所以掌握点的坐标、用坐标系描述平面图形的位置及函数的概念是学好本讲内容的关键.尤其是要灵活掌握运用坐标定位方法来描述图形的位置及平移变化.2.运用点的坐标的特征揭示图形的位置、性质是中考的热点,因此,应通过相应的题目强化训练,以达到提高解决相关问题的能力.点的坐标的特征1.点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|;2.平行于x轴的直线上的点的特征:纵坐标相等;平行于y轴的直线上的点的特征:横坐标相等.【例1】(2010·深圳中考)已知点P(a-1,a+2)在平面直角坐标系的第二象限内,则a的取值范围在数轴上可表示为(阴影部分)()【思路点拨】【自主解答】选C.由题意得,解得-2<a<1,故选C.a10a201.(2011·宁波中考)平面直角坐标系中,与点(2,-3)关于原点中心对称的点是()(A)(-3,2)(B)(3,-2)(C)(-2,3)(D)(2,3)【解析】选C.∵关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数,故选C.2.(2011·武汉中考)在直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.且规定,正方形的内部不包含边界上的点.观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴,边长为1的正方形内部有1个整点,边长为2的正方形内部有1个整点,边长为3的正方形内部有9个整点,……则边长为8的正方形内部的整点的个数为()(A)64(B)49(C)36(D)25【解析】选B.边长为奇数的正方形边上有0个整点,边长为2的正方形边上有8个整点,边长为4的正方形边上有8+8个整点,边长为6的正方形边上有8+8+8个整点,所以边长为8的正方形内部的整点的个数为49.3.(2010·沈阳中考)在平面直角坐标系中,点A1(1,1),A2(2,4),A3(3,9),A4(4,16),…,用你发现的规律确定点A9的坐标为_____.【解析】由题意知An的横坐标为n,纵坐标为n2,所以A9的坐标为(9,81).答案:(9,81)坐标的计算1.根据坐标确定平面直角坐标系内的点,先在x轴上找到与横坐标对应的点,然后过该点作x轴的垂线,再在y轴上找到与纵坐标对应的点,然后过该点作y轴的垂线,两条垂线的交点处就是所求的点的位置.2.根据点确定坐标:过已知点分别作x轴和y轴的垂线,对应到坐标轴上的数分别是它们的横坐标和纵坐标.【例2】(2010·杭州中考)常用的确定物体位置的方法有两种.如图,在4×4个边长为1的正方形组成的方格中,标有A,B两点.请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置.【思路点拨】(1)用有序实数对(a,b)表示物体位置时,首先要建立平面直角坐标系,然后根据点的位置确定点的坐标.(2)用方向和距离表示物体位置时,要先确定B点位于A点的方向,再确定点B到点A的距离.【自主解答】方法一:用有序实数对(a,b)表示.比如:以点A为原点,水平方向为x轴,建立直角坐标系,则B(3,3).方法二:用方向和距离表示.比如:B点位于A点的东北方向(北偏东45°等均可),距离A点处.324.(2010·自贡中考)如图在平面直角坐标系中,□MNEF的两条对角线ME,NF交于原点O,点F的坐标是(3,2),则点N的坐标为()(A)(-3,-2)(B)(-3,2)(C)(-2,3)(D)(2,3)【解析】选A.由题意知,点N与点F关于原点对称,关于原点对称的两点的横、纵坐标都互为相反数,因为点F的坐标是(3,2),所以点N的坐标为(-3,-2).5.(2010·西宁中考)如图是小刚的一张脸,他对妹妹说“如果我用(0,2)表示左眼,用(2,2)表示右眼,那么嘴的位置可以表示成()(A)(1,0)(B)(-1,0)(C)(-1,1)(D)(1,-1)【解析】选A.由题意知坐标原点在左眼下两个单位,所以嘴的位置可以表示成(1,0).6.(2010·泰州中考)已知点A、B的坐标分别为(2,0),(2,4),以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等,写出一个符合条件的点P的坐标:_____.【解析】因为点A、B的坐标分别为(2,0),(2,4),所以OA=2,AB=4,根据全等的定义知,符合条件的点P有3个(如图)答案:(4,0)或(4,4)或(0,4)(只要写出一个即可)函数图象信息1.对于函数图象信息题,要充分挖掘图象所含信息,通过读图、想图、析图,找出解题的突破口.2.观察图象时要注意观察横轴、纵轴的意义以及一些特殊点的坐标.3.函数图象信息题,通常是以其他学科为背景,因此,熟悉相关学科的有关知识对解题很有帮助.【例3】(2011·盐城中考)小亮从家步行到公交车站台,等公交车去学校.图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系.下列说法错误的是()(A)他离家8km共用了30min(B)他等公交车时间为6min(C)他步行的速度是100m/min(D)公交车的速度是350m/min【思路点拨】由图象明确看出小亮从家到公交站台的时间、路程,小亮在公交站台休息的时间,从公交站台到学校的时间、路程,然后根据上述条件逐一验证.【自主解答】选D.公交车的速度为811000500m/min.30167.(2011·重庆中考)为了建设社会主义新农村,我市积极推进“行政村通畅工程”.张村和王村之间的道路需要进行改造,施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天,不过施工队随后加快了施工进度,按时完成了两村之间道路的改造.下面能反映该工程尚未改造的道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系的大致图象是()【解析】选D.y所表示的是尚未完成的任务,所以应该向下,所以A错;中间有一段时间停工,所以B错;后来加快了施工进度,所以C错.8.(2011·内江中考)小高骑自行车从家上学,先走上坡路到达A,再走下坡路到达B,最后平路到达学校,所用时间与路程关系如图所示.放学后,他沿原路返回,且上坡、下坡、平路的速度分别与上学时保持一致,那么他从学校到家用的时间是()(A)14分钟(B)17分钟(C)18分钟(D)20分钟【解析】选D.上坡路400米,下坡路1200-400=800米;上坡、下坡的速度分别是400÷5=80米/分钟,800÷(9-5)=200米/分钟.回家过程中平路所需时间与上学时所需时间相同,都是8分钟,回家上坡路所需时间是800÷80=10分钟,下坡路所需时间是400÷200=2分钟,所以共需时间是8+10+2=20分钟.9.(2010·南京中考)如图,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为()【解析】选A.小亮从点A走向路灯C的正下方,他的影长y随他与点A之间的距离x逐渐变小,到点C正下方时y为0,小亮从点C正下方到点B,他的影长y随他与点A之间的距离x逐渐变大,只有选项A符合题意.用坐标表示平移1.点的坐标变化与点的左右或上下平移密切相关,应注意图形各个点的坐标变化与图形平移的关系,并能熟练地解决与平移有关的问题.2.点的坐标变化与点平移的关系是数形结合思想的应用.【例】(2010·武汉中考)(1)在平面直角坐标系中,将点A(-3,4)向右平移5个单位到点A1,再将点A1绕坐标原点顺时针旋转90°到点A2,直接写出点A1,A2的坐标;(2)在平面直角坐标系中,将第二象限内的点B(a,b)向右平移m个单位到点B1,再将点B1绕坐标原点顺时针旋转90°到点B2,直接写出点B1,B2的坐标;(3)在平面直角坐标系中,将点P(c,d)沿水平方向平移n个单位到点P1,再将点P1绕坐标原点顺时针旋转90°到点P2,直接写出点P2的坐标.【思路点拨】解题时要根据由特殊到一般的思想,结合图形,找出一般规律.【自主解答】(1)点A1的坐标为(2,4),点A2的坐标为(4,-2);(2)点B1的坐标为(a+m,b),点B2的坐标为(b,-a-m);(3)点P2的坐标为(d,-c-n)或(d,-c+n).1.(2011·广州中考)将点A(2,1)向左平移2个单位长度得到点A′,则点A′的坐标是()(A)(0,1)(B)(2,-1)(C)(4,1)(D)(2,3)【解析】选A.将点A向左平移2个单位长度得到A′,则点A的坐标的横坐标减少2个单位长度,纵坐标不变,所以点A′的坐标为(0,1).2.(2010·昭通中考)在如图所示的方格图中,每个小正方形的顶点称为“格点”,且每个小正方形的边长均为1个单位长度,以格点为顶点的图形叫做“格点图形”,根据图形解决下列问题:(1)图中格点图形△A′B′C′是由格点图形△ABC通过怎样变换得到的?(2)如果建立直角坐标系后,点A的坐标为(-5,2),点B的坐标为(-5,0),请求出过A点的正比例函数解析式,并写出图中格点图形△DEF各顶点的坐标.【解析】(1)格点图形△A′B′C′是由格点图形△ABC先绕B点逆时针旋转90°,然后向右平移13个单位长度(或格)得到的.(先平移后旋转也行)(2)设过A点的正比例函数解析式为y=kx,将A(-5,2)代入上式得2=-5k,∴过A点的正比例函数的解析式为:△DEF各顶点的坐标为:D(2,-4),E(0,-8),F(7,-7).2k.5-2yx.51.(2010·金华中考)在平面直角坐标系中,点P(-1,3)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选B.点P横坐标小于0,纵坐标大于0,故点P(-1,3)位于第二象限.2.(2010·德化中考)已知:如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点(A、C除外),作PE⊥AB于点E,作PF⊥BC于点F,设正方形ABCD的边长为x,矩形PEBF的周长为y,在下列图象中,大致表示y与x之间的函数关系的是()【解析】选A.由题意知AE=PE=BF,PF=BE=CF,所以y=2x,故选A.3.(2010·济宁中考)如图,是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象,若用黑点表示张老师家的位置,则张老师散步行走的路线可能是()【解析】选D.由图形知张老师出门散步时,开始离家越来越远,然后有一段时间离家的距离保持不变,最后回到家中,四个选项中只有D符合题意.4.(2010·黄冈中考)函数的自变量x的取值范围是_____.【解析】要使函数有意义,必须x-3≥0且x+1≠0,所以x≥3.答案:x≥3x3yx1x3yx15.(2010·宿迁中考)在平面直角坐标系中,线段AB的端点A的坐标为(-3,2),将其先向右平移4个单位,再向下平移3个单位,得到线段A′B′,则点A对应点A′的坐标为_____.【解析】点A′的横坐标为-3+4=1,点A′的纵坐标为2-3=-1,即点A对应点A′的坐标为(1,-1).答案:(1,-1)

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