高考数学常考的100个基础知识点

第1页共14页高考数学常考的100个基础知识点广州市育才中学邓军民整理1．德摩根公式CU（A∩B）=CuA∪CuB；BCAC)BA(CUUU。2．A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=φCUA∪B=R3．card（A∪B）=cardA+cardB－card（A∩B）4．二次函数的解析式的三种形式①一般式f（x）=ax2+bx+c（a≠0）；②顶点式f（x）=a（x－h）2+k（a≠0）；③零点式f（x）=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）。5．设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么0)()(0)]()()[(21212121xxxfxfxfxfxxf（x）在[a，b]上是增函数；0)()(0)]()()[(21212121xxxfxfxfxfxxf（x）在[a，b]上是减函数。设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）0，则f（x）为增函数；如果f′（x）0，则f（x）为减函数。6．函数y=f（x）的图象的对称性:①函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称f（a+x）=f（a－x）f（2a－x）=f（x）。7．两个函数图象的对称性：（1）函数y=f（x）与函数y=f（－x）的图象关于直线x=0（即y轴）对称。（2）函数y=f（x）和y=f－1（x）的图象关于直线y=x对称。8．分数指数幂nmnmaa1（a0，m，n∈N*，且n1）。分数指数幂nmnma1a（a0，m，n∈N*，且n1）。9．logaN=bab=N（a0，a≠1，N0）第2页共14页10．对数的换底公式aNNmmalogloglog，推论bmnbanamloglog11．2111nssnsannn，，−≥（数列{an}的前n项的和为Sn=a1+a2+…+an）。（注意此公式第2行顺推与逆推的应用，这是递推数列的常用公式，可以达到不同的目的）12．等差数列的通项公式an=a1+（n－1）d=dn+a1－d（n∈N*）*其前n项和公式ndanddnnnaaanSnn)21(22)1(2)(121113．等比数列的通项公式)(·1*11Nnqqaqaannn；其前n项的和公式1,1,1)1(11qnaqqqaSnn或1,1,1)11qnaqqqaaSnnn（小心：解答题利用错位相减法时要特别注意讨论q=1的情况）14．同角三角函数的基本关系式sin2θ+cos2θ=1，tanθ=1cot·tan,cossin15．和角与差角公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ；cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ；tan（α±β）tantan1tantan。22sinsin)sin()sin(（平方正弦公式）；cos（α+β）cos（α−β）=cos2α−sin2β（平方余弦公式）；)sin(cossin22baba（辅助角所在象限由点（a，b）的象限决定，abtan）。（建议利用的正弦和余弦来确定其位于哪个象限，这样比较好理解）16．二倍角公式sin2α=2sinα·cosα。第3页共14页22222tan1tan22tansin211cos2sincos2cos。17．三角函数的周期公式函数y=sin（ωx+），x∈R及函数y=cos（ωx+），x∈R（A，ω，为常数，且A≠0，ω＞0）的周期2T；函数)xtan(y，Zk2kx，（A，，为常数，且A≠0，0）的周期T。（注意ω小于0的函数周期的求法）18．正弦定理R2CsincBsinbAsina。（学会利用后面的2R）19．余弦定理a2=b2+c2−2bccosA；b2=c2+a2−2cacosB；c2=a2+b2−2abcosC。（注意其变形公式）20．面积定理（1）cbach21bh21ah21S（cbahhh、、分别表示a、b、c边上的高）。（2）Bsinca21Asinbc21Csinab21S。21．三角形内角和定理在△ABC中，有)BA(22C22BA22C)BA(CCBA。（很多与三角形有关的恒等变形或者纯粹解三角形的题目中会用到这些关系）22．平面两点间的距离公式212212)()(||yyxxABABABdBA，（A（11yx，），B（22yx，））。23．向量的平行与垂直设)()(2211yxbyxa，，，，且b≠0，则00)0(0//21211221yyxxbaabayxyxabba24．线段的定比分公式设)()()(222111yxPyxPyxP，，，，，是线段P1P2的分点，λ是实数，且21PPPP，则第4页共14页112121yyyxxx（这个公式很重要，不要记错！）25．三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为)()(2211yxByxA，、，、)(33yxC，，则△ABC的重心的坐标是)33(321321yyyxxxG，。26．点的平移公式''''''PPOPOPkyyhxxkyyhxx（图形F上的任意一点P（x，y）在平移后图形'F上的对应点为)''('yxP，，且'PP的坐标为（h，k））。（要注意区别新坐标、旧坐标，区别新方程和旧方程，不要混淆，解答题务必要体现以上公式的使用过程，关键步骤不要省）27．常用不等式：（1）a，b∈R⇒a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“=”号）。（2）a，b∈R+ab2ba（当且仅当a=b时取“=”号）。（3）a3+b3+c3≥3abc（a0，b0，c0）。（4）柯西不等式Rdcbabdacdcba，，，，22222)())((。（建议：了解一下，尝试用向量数量积的方法证明之）（5）||||||||||bababa28．极值定理已知x，y都是正数，则有（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时和x+y有最小值p2；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时积xy有最大值2s41。29．一元二次不等式ax2+bx+c0（或0）（a≠0，Δ=b2−4ac0），如果a与ax2+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间。简言之：同号两根之外，异号两根之间。第5页共14页)(0)(21121xxxxxxx；1xx，或)(0))((21212xxxxxxxx（这类问题一般可以借助于韦达定理或者结合图象特点寻找约束条件就可以解决问题）30．含有绝对值的不等式当a0时，有axaaxax22||axaxax22||或ax。31．无理不等式（1）)()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf（2）0)(0)()]([)(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或（3）2)]([)(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf32．指数不等式与对数不等式（1）当a1时，)()()()(xgxfaaxgxf；)()(0)(0)()(log)(logxgxfxgxfxgxfaa（2）当0a1时，)()()()(xgxfaaxgxf；)()(0)(0)()(log)(logxgxfxgxfxgxfaa第6页共14页33．斜率公式))()((2221111212yxPyxPxxyyk，、，（很多代数问题可以利用这个公式转化为几何问题，简化解题过程，这是数型结合思想的重要体现）34．直线的四种方程（1）点斜式)(11xxkyy（直线l过点)yx(P111，，且斜率为k）。（2）斜截式y=kx+b（b为直线l在y轴上的截距）。（注意：（1）截距不是距离；（2）过原点的直线也具有横、纵截距相等的特征）（3）两点式)(21121121yyxxxxyyyy（)(111yxP，、)(222yxP，（21xx））。（4）一般式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）。35．两条直线的平行和垂直（1）若l1：，11bxkyl2：22bxky①l1//l22121bbkk，；②l1⊥l21kk21（2）若l1：0111CyBxA，l2：0222CyBxA，且2121BBAA、、、都不为零，①l1//l2212121CCBBAA；②l1⊥l202121BBAA；36．夹角公式|1|tan1212kkkk。（l1：11bxky，l2：12122kkbxky，）（要区别于直线a到直线b的角的求解公式）。直线l1⊥l2时，直线l1与l2的夹角是2。第7页共14页37．点到直线的距离2200||BACByAxd（点P（00yx，），直线l：0CByAx）。38．圆的四种方程（1）圆的标准方程222)()(rbyax（2）圆的一般方程)04(02222FEDFEyDxyx（3）圆的参数方程sincosrbyrax（4）圆的直径式方程0))(())((2121yyyyxxxx（圆的直径的端点是A（11yx，）、B（22yx，））。（可利用向量垂直理解之）39．椭圆)0(12222babyax的参数方程是sincosbyax。（圆和椭圆的参数方程一定要过关）40．椭圆)0(12222babyax焦半径公式)(||)(||2221xcaePFcaxePF，。（自己还可以适当化简）41．双曲线)00(12222babyax，的焦半径公式|)(||||)(|||2221xcaePFcaxePF，。（点p在左支或者右支的时候，上面的公式都可以去绝对值符号的，作题时自己灵活处理）42．抛物线y2=2px上的动点可设为)2(020ypyP，或P（ptpt222，）或P（x，y），其中pxy22。（强烈建议理解：以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切）第8页共14页43．二次函数)0(44)2(222aabacabxacbxaxy的图像是抛物线：（1）顶点坐标为（abacab4422，）；44．直线与圆锥曲线相交的弦长公式221221)()(||yyxxAB或2212212122cot1||tan1||))(1(||yyxxxxkAB（注意和韦达定理结合使用）（弦端点A（11yx，），B（22yx，），由方程0)(yxFbkxy，消去y得到02cbxax，△0，α为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，以上化简思路再结合韦达定理使用，是很多圆锥曲线解答题的常用解题技巧）45．圆锥曲线的对称问题：曲线F（x，y）=0关于点P（00yx，）成中心对称的曲线是0)22(00yyxxF，。（可以利用重点坐标公式推导之）。46．对于一般的二次曲线022FEyDxCyBxyAx，用xx0代2x，用yy0代2y，用200xyyx代入xy，用20xx代x，用20yy代入y即得方程0222000000FyyExxDyCyxyyxBxAx，曲线的切线、切点弦方程均可由此方程得到。47．共线向量定理对空间任意两个向量a、b（b≠0），a∥b⇔存在实数λ使a=λb。48．对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OCzOByOAxOP，则四点