圆的综合练习题及答案

圆的综合练习题答案1.如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.（1）证明:如图,连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE=90°.∴∠EAB+∠E=90°.……………………1分∵∠E=∠C,∠C=∠BAD，∴∠EAB+∠BAD=90°.∴AD是⊙O的切线.……………………2分（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.∵AE=2AO=6,AB=4,∴5222ABAEBE.…………………………………………………3分∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,∴.coscosEBAD…………………………………………………4分∴.AEBEADAB.6524AD即∴5512AD.…………………………………………………5分2.已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交AB的延长线于点D.（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O半径的长；证明：（1）连接OC（如图①），∵OA＝OC，∴∠1＝∠A.∵OE⊥AC，∴∠A＋∠AOE＝90°.∴∠1＋∠AOE＝90°.又∠FCA＝∠AOE，图①∴∠1＋∠FCA＝90°.即∠OCF＝90°.∴FD是⊙O的切线.……………………………………………………2分（2）连接BC（如图②），∵OE⊥AC，∴AE＝EC.又AO＝OB，∴OE∥BC且BCOE21.……………3分∴△OEG∽△CBG.图②EABCDOF1BDEOACFGBDEOAC∴21CBOECGOG.∵OG＝2，∴CG＝4.∴OC＝6.………………………………………………………………5分即⊙O半径是6.3.如图，以等腰ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DEAC，垂足为E．（I）求证：DE为⊙O的切线；（II）若⊙O的半径为5，60BAC，求DE的长．解：（I）证明：连接AD，连接ODAB是直径，BCAD，又ABC是等腰三角形，∴D是BC的中点．ODAC∥．DEAC，DEOD．DE为⊙O的切线．（II）在等腰ABC中，60BAC，知ABC△是等边三角形．⊙O的半径为5，10ABBC，152CDBC．53sin602DECD4.如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，DC的延长线与AB的延长线交于点P.（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AE=5，BE=6，求DC的长.（1）证明：连结OC…………………1分∵PD⊥AE于D∴∠DCE＋∠E=900∵AB=AE,OB=OC∴∠CBA=∠E=∠BCO又∵∠DCE=∠PCB∴∠BCO＋∠PCB=900∴PD是⊙O的切线……………2分（2）解：连结AC………………3分∵AB=AE=5AB是⊙O的直径BE=6∴AC⊥BE且EC=BC=3∴AC=4又∵∠CBA=∠E∠EDC=∠ACB=90°∴△EDC∽△BCA………………4分∴ACDC=ABEC即4DC=53∴DC=5125分5.在Rt△ABC中，∠C=90，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F（1）求证:AC是⊙O的切线;（2）联结EF，求EFAC的值.（1）证明：连结OD，-------1分∵90C，∴90DBCBDC．又∵BD为∠ABC的平分线，∴ABDDBC．∵OBOD，∴ABDODB∴90ODBBDC，即∴90ODC-----2分又∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．………………………………………………3分（2）解：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，∴BE是⊙O的直径，设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，22222912225ABBCCA，∴15AB∵AA，90ADOC，∴△ADO∽△ACB．∴AOODABBC．∴15159rr．∴458r．∴454BE··············4分又∵BE是⊙O的直径．∴90BFE．∴△BEF∽△BAC∴4534154EFBEACBA．……………………………5分ACEOBFD（第5题）FECADoBOFEDCBAABCDEFO7.已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长．解：（1）直线CE与⊙O相切．证明：如图，连结OD．∵AD平分∠FAE，∴∠CAD=∠DAE．∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAE．∴∠CAD=∠ODA．∴OD∥AC．∵EC⊥AC，∴OD⊥EC．∴CE是⊙O的切线．……………………………………………………………2分（2）如图，连结BF．∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°．∵∠C=90°，∴∠AFB=∠C．∴BF∥EC．∴AF∶AC=AB∶AE．∵AF∶FC=5∶3，AE=16，∴5∶8=AB∶16．∴AB=10．…………………………………………………………5分8已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结PC，交AD于点E．（1）求证：AD是圆O的切线；（2）若PC是圆O的切线，BC=8，求DE的长．（1）证明：∵AB=AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BD．又∵BD是圆O直径，∴AD是圆O的切线．……2分（2）解：连结OP，由BC=8，得CD=4，OC=6，OP=2．∵PC是圆O的切线，O为圆心，∴90OPC．由勾股定理，得42PC．在△OPC中，22tan442OPOCPPC在△DEC中，ABCDPE．O（第8题）2tan,4tan242.54DEDCEDCDEDCDCE分9.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．证明：（1）连接OC,,,,12.,23.13.//.1.2AECDCFABCECFOAOCOCAEOCCDDEO又分是的切线.分00(2)6,13.23,6,30.60.39,19.422,3.5ABOBOCABRtOCDOCODOBBDDCODRtADEDABBDAEADOBCOBOCBCOB0解：在中，分在中，A分在中，COD=60分10如图，⊙O的直径4AB，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，联结AC．（1）若30CPA，求PC的长；（2）若点P在AB的延长线上运动，CPA的平分线交AC于点M．你认为CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出CMP的大小．解：（1）联结OC，则PCOC．在Rt△OCP中，221ABOC，30CPA．∴323OCPC．……………………2分（2）CMP的大小不发生变化．…………………3分MPAACMPEFAOBCD第19题CPOCOP2121459021．………5分11如图，点P在半O的直径BA的延长线上，2ABPA，PC切半O于点C，连结BC.（1）求P的正弦值；（2）若半O的半径为2，求BC的长度.（1）证明：如图，连接OC．∵PC切半O于点C，90PCO．…………………1分∵2ABPA，PAOAOBOC．在RtPCO△中，1sin2OCPOP．·······························································2分（2）过点O作ODBC于点D，则2BCBD．·············································3分1sin2P，30P，60POC．∵OCOB，30BOCB．在RtOBD△中，2OB，cos303BDOB．·············································································4分23BC．······························································································5分12已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E．求证：BE=CE．证明：连接CD.∵∠ACB=90°,AC为⊙O直径，∴EC为⊙O切线，且∠ADC=90°.………………………2分∵ED切⊙O于点D,∴EC＝ED.…………………………………3分∴∠ECD=∠EDC.∵∠B+∠ECD=∠BDE+∠EDC=90°，∴∠B=∠BDE.∴BE=ED.………………………………………………4分13.已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠BCE=∠CAB，CE交AB的延CBAOPDCBAOPEDCOABOEDCBAOEDCBA长线于点E，AD⊥AB，交EC的延长线于点D．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若CE=3，BE=2，求CD的长．解：（1）直线DE与⊙O相切．证明：如图，连结OC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO．∵∠BCE=∠CAB，∴∠BCE=∠ACO．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BCE＋∠BCO=∠BCO＋∠ACO=∠OCE=90°．………………1分∴DE是⊙O的切线．……………………………………………2分（2）∵∠BCE=∠CAB，∠BEC=∠CEA，∴△BEC∽△CEA．∴CE∶AE=BE∶CE．∵CE=3，BE=2，∴3∶AE=2∶3．∴AE=92．……………………………………………………3分∵AD⊥AB，AB是⊙O的直径，∴DA是⊙O的切线．∴AD=CD．………………………………………………4分在Rt△ABC中，由勾股定理得222ADAEDE，∴222932CDCD．∴CD=158．………………………………………………5分14.已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．…………………………1分∴∠ABD+∠A=90°．又∵∠DBC=∠A．∴∠ABD+∠DBC=90°．∴∠ABC=90°．∴BC是⊙O的切线．………………………2分（2）解：∵OC∥AD，∠ADB=90°，∴OE⊥BD，∠OED=∠ADB=∠BEC=90°．∴BE=12BD=3．………………………4分又∵∠DBC=∠A，∴△CBE∽△BAD．∴ADBDBECE，即634AD．∴AD=92．……5分15.如图：AB是⊙O的直径，AD是弦，22.5DAB，延长AB到点C，使得2ACDDAB．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若22AB，求BC的长．（1）证明：连结DO………………………………1分∵AO=DO∴∠DAO=∠ADO=22.50∴∠DOC=450又∵∠ACD=2∠DAB∴∠ACD=∠DOC=450∴∠ODC=900………………2分∴CD是⊙O的切线（2）解：连结DB……………………………