传输线理论

第一章.传输线理论一、典型的分布参数系统—传输线。在一般的电路分析中，所涉及的网络都是集总参数的，即所谓的集总参数系统。电路的所有参数，如阻抗、容抗、感抗都集中于空间的各个点上，即各个元件上。各点之间的信号是瞬间传递的。集总参数系统是一种理想化的模型。它的基本特征可归纳为：1.电参数都集中在电路元件上。2.元件之间连线的长短对信号本身的特性没有影响，即信号在传输过程中无畸变,信号传输不需要时间。3.系统中各点的电压或电流均是时间且只是时间的函数。集总参数系统是实际情况的一种理想化近似。实际的情况是各种参数分布于电路所在空间的各处，当这种分散性造成的信号延迟时间与信号本身的变化时间相比已不能忽略的时侯，就不能再用理想化的模型来描述网络。这时，信号是以电磁波的速度在信号通道上传输，信号通道(或者说是信号的连线)是带有电阻、电容、电感的复杂网络，是一个典型的分布参数系统。任何一个电子学系统中，都不可避免地要使用大量连接线，有的连接线很短，只有几厘米，有的连接线很长，有几米、几十米甚至上百米。在这样长的连接线上，信号从始端(信号源所在处)传到终端(负载所在处)需要一定的时间，实验和电动力学的理论都证明了以空气为绝缘介质的均匀导体，电信号的传输速度可以接近光速即3108米/秒，也就是0.3米/ns。假设有5米长的导线，信号从始端传到终端需要17ns时间，换句话说，终端信号相对于始端有17ns的延迟。这段时间相对于微秒或更低速度的系统是无关大局的，但对于毫微秒(ns)量级的高速电路就不能等闲视之了。高速门电路(如74FTTL系列数字集成电路)的每级平均延迟时间可以小到几个ns，这时由上述连接线产生的延迟就不可再忽略。而速度更高的ECL数字集成电路，其典型延迟时间为1～2ns(ECL10K系列)，甚至只有300～500ps(ECLinPS系列)。在这样的高速电路系统中，印刷电路板上的连线延迟也都不可再忽略。问题还不止于此，从以后的分析中我们将看到当高速变化的信号在电路连线中传输时，若终端和始端的出现阻抗失配现象，则会出现电磁波的反射，使信号波形严重畸变，并且引起一些有害的干扰脉冲，影响整个系统的正常工作，所以在高速电路设计中，信号传输问题必须予以慎重考虑。这时，电路连线应作为分布参数系统来对待。另一方面我们也经常利用某一长度的连线，如:同轴电缆线，来产生所要求的固定延迟，或利用终端开路或短路的连线来成形脉冲，以得到宽度符合要求的窄脉冲。在电路分析中，对于那些必须考虑信号传输的连接线，我们称之谓传输线。由于传输线的一个基本特征是信号在其上的传输需要时间，因而人们也常常将传输线称之为延迟线。作为一个分布参数系统，传输线的基本特征可以归纳为:1.电参数分布在其占据的所有空间位置上。2.信号传输需要时间。传输线的长度直接影响着信号的特性，或者说可能使信号在传输过程中产生畸变。3.信号不仅仅是时间(t)的函数，同时也与信号所处位置(x)有关，即信号同时是时间(t)和位置(x)的函数。为了保证信号在传输线中不失真地传输，我们必须找出信号随时间、位置变化时的变化规律，即U(x，t)，i(x，t)的变化规律。为此，首先要建立传输线的物理模型，列出描述U(x，t)，I(x，t)的数学方程，最后解方程，分析其变化规律。如前所述，传输线是一个分布参数系统，它的每一段都具有分布电容、电感和电阻.传输线的分布参数通常用单位长度的电感L和单位长度的电容C以及单位长度上的电阻、电导来表示，它们主要由传输线的几何结构和绝缘介质的特性所决定的，它们的数值可以用测量的方法得到，但对结构简单的传输线可用计算方法得到。表1-1列出了几种常用的传输线的分布参数计算公式。传输线结构(横截面图)单位长度的电感(亨/米)单位长度的电容(法/米)同轴电缆双线dDaddh单线表１－１．几种常用的传输线的分布参数计算公式分布的电容、电感和电阻是传输线本身固有的参数，给定某一种传输线，这些参数的值也就确定了，这些参数反映着传输线的内在因素，它们的存在决定着传输线的一系列重要特性。注：1.这里r为介质的相对导磁率r/0，r为介质的相对介电率r0，0、0分别为真空中r和r之值。2.应用这些计算公式的条件是传输长度要远大于截面尺寸.二.传输线的物理模型和电报方程为了研究信号在传输线上随时间、位置变化时的变化情形，即u(x,t)和i(t,x)的变化规律。我们以平行双线为例引入分布参数的概念，求解导线上的电压和电流变化规律所满足的方程—电报方程。此处假设传输线是均匀的，即构成传输线的两导体的距离，其截面形状以及介质的电特性和磁特性沿着整个长线保持不变，我们选取这样的平行双线的一小段进行研究。小段长度为x,如图1-2-1a所示。虽然传输线是一个分布系数系统,但我们仍先用一个集中参数的模型来描述，如图1-2-1b所示。显然,x越小,就越接近传输线的实际情况。当x0时,该模型就逼近真实的分布参数系统。u(t,x)i(t,x+x)u(t,x+x)xx+xi(t,x)i(t,x)u(t,x)i(t,x+x)Rx(a)(b)u(t,x+x)LxCxGxl图1-2-1平行双线及其等效电路选取传输线起点为作标原点即X=0，再看距原点为X到X+x处的情况，设：L为单位长度上的分布电感，R为单位长度上的分布电阻，C为单位长度上的分布电容，G为单位长度上的分布电导(介质漏电引起)，在X处的电压为u(t,x)，电流为i(t,x),而X+x处的电压则为u(t,X+x),电流则为i(t,X+x)(注意:此处电压u及电流i是时间(t)和位置(x)的二元函数)，根据克希霍夫定律，从传输线的x到x+x段，应有：utxutxxLxitxtRxitx(,)(,)(,)(,)itxitxxGxutxxCxutxxt(,)(,)(,)(,)整理后,则有:utxutxxxLitxtRitx(,)(,)(,)(,)itxitxxxGutxxCutxxt(,)(,)(,)(,)对上述两式分别取其二边x0的极限，则有：utxxitxGCitxt(,)(,)(,)(1.2.1a)itxxutxGCutxt(,)(,)(,)(1.2.1b)方程组(1.2.1)称为电报方程，为简单起见，在下面的分析中，我们将用变量u和i来分别代替utx(,)和itx(,)。由于上述每个方程中都含有二个因变量u和i，因此用消元法来获得两个分别只含u和i的偏微方程。对(1.2.1a)两边进行x，对(1.2.1b)两边进行t，则得到：22uxLixtRix(1.2.2)ixtCutGut22(1.2.3)把(1.2.1b)和(1.2.3)式代入(1.2.2)式后可以消去含有i的项，经整理得：2222uxLCutRCLGutRGu()(1.2.4)同样也对(1.2.1a)式两边进行t，对(1.2.1b)式两边进行x，并按代入消元原理可得到：2222ixLCitRCLGitRGi()(1.2.5)下面的讨论,我们以理想导线来进一步简化上述方程,即假定这条导线是无损耗线,因而:R=0,G=0。这时,图1-2-1b可简化为图1-2-2所示的无损耗线等效电路。u(t,x+x)i(t,x)u(t,x)i(t,x+x)LxCx图1-2-2无损耗线等效电路式（1.2.4）和式(1.2.5)则可以被简化为：22222222uxLCutixLCit(..)(..)126127从数学上讲，这是一维波动方程，也可称为双曲型方程。要解这组方程，还必须给出具体的初始条件和边界条件，这由具体情况来定。下面讨论最常见的一种情况。ZsZCx=0x=lU入K图1-2-3无损耗线初始条件和边界条件的讨论设传输线上电压和电流的起始值为零，在t=0时刻和内阻为Zs的信号源接通，负载电阻为ZL线长为l，如图1-2-3所示，这实际上给定解问题确定了如下的初始条件和边界条件：初始条件：ux(,),00u(0,x)u(t,x)t|t00ix(,),00ixutxt(,)(,)0|t0=0边界条件：ututitZs(,)()(,)00utitZH(,)(,)初始条件的限定,相当于将电压和电流函数u(t,x)和i(t,x)看作为一个阶跃函数,在t0时,u(t,x)和i(t,0)均为零。这时,utfttitgtt()()()()()()11这里1()t为单位阶跃函数。我们用拉普拉斯变换法来解这组偏微分方程，由于初始值取t=0时刻，因此拉氏变换的下界也开拓到0。整个解的过程可以分如下四步来完成：第一步：按给定的偏微分方程组(1.2.6)和(1.2.7)式，对时间t取拉普拉斯变换，从而形成t的象函数的关于x的常微分方程：令itxIsx(,)(,)utxUsx(,)(,)则(1.2.6)式和(1.2.7)式分别变为：2UxLCutLCsUsxsuoxux22220(,)(,)(,)'2222200IxLCitLCsIsxsixix[(,)(,)(,)]'把初始条件代入上面二式，得到：222222UxsLCUsxIxsLCIsx(,)(,)这实际上已经是函数U和I的常微分方程了，因此可以写成：dUdxsLCUsxdIdxsLCIsx222222(,)(,)(..)(..)128129可见这一步完成，就把一个求解偏微分方程的问题转化成了求解常微分方程的问题了。第二步：解U和I的常微分方程。由于上述二个方程均是齐次方程，因此很容易写出它们的通解是：UsxAeBeIsxAeBenxnxnxnx(,)(,)1122其中nsLC第三步：由边界条件确定U和I中的系数，表面上看来有四个待定系数，但由于I和U实际上并非相互独立的，因此可以由U推出I求。为了看清这一点，还是回到最初的电报方程式：UxLit二边对t取拉普拉斯变换，得：UxsLILixSLI(,)0这里ix(,)00因此有：ISLUx1把UsxAeBenxnx(,)11代入上式可得：InSLAeBeZAeBenxnxcnxnx()()11111其中ZcLC称为特性阻抗。所以实际上(1.2.8)和(1.2.9)的通解为：UsxAeBeIsxZAeBenxnxcnxnx(,)(,)()11221(..)(..)12101211至此我们可以由边界条件来确定系数A1和B1了。对最初给定的边界条件也取t的拉氏变换形式,则有:UsUsIsZs(,)()(,)00UsIsZL(,)(,)代入(1.2.10)和(1.2.11)式后可得：UsIsZABIsZABSc()(,)(,)()0011111由此可以解出:AZZZUsZZZZBccsscsc11()BAen112其中ZZZZcHcH称为反射系数。假如传输数是始端匹配的，即ZZsc，则得到的最后的系数为：AUs112()BeAnl121因此u和I的完整的解是：UsxUseenxnx(,)()()122(..)1212IsxZUseecnxnx(,)()()122(..)1213第四步：再由U和I作拉普拉斯反变换求出定解问题的最终解。我们借助于拉氏变换中的延迟定理求解式(1.2.12)和(1.2.13)的反变换,可得到：utxutLCxutLCx(,)()()1222(1.2.14)itxZutLCxutLCxc(,)(