新北师大版九年级上册第一单元特殊的平行四边形复习

特殊的平行四边形新北师大版九年级数学下册第一单元菱形的性质ABCD菱形的对边平行且四边相等.角对角线边每条对角线平分一组对角。矩形的对角线互相平分.对称性菱形是轴对称图形，也是中心对称图形.一：菱形菱形的定义：有一组临边相等的平行四边形.菱形的对边平行且四边相等.菱形的对角相等菱形的判定方法：1、有一组临边相等的平行四边形是菱形。2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。3、有四条边相等四边形是菱形。对于1、2两种判定方法是在平行四边形的前提下来判断的，而3是直接在四边形的前提下判断的。矩形的性质ABCD矩形的对边平行且相等.角对角线边矩形的对角线相等.矩形的对角线互相平分.矩形的四个角都是直角.矩形的对角相等.对称性矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.二：矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.矩形的判定方法：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。2、对角线相等的平行四边形是矩形。3、有三个角是直角的四边形是矩形。对于1、2两种判定方法是在平行四边形的前提下来判断的，而3是直接在四边形的前提下判断的。DABCEF1ABCDEFBCBE=CFAF=DE1ABFDCE2ABCD、如图，在中，、为上的两点，且，。求证：≌；四边形是矩形。1BE=CFBE+EF=CF+EFBF=CE.ABCDAB=CDAF=DEABFDCESSS证明：，，四边形是平行四边形，又，≌（）2ABFDCEB=CB+C=180B=90ABCD≌，又，是矩形。OABCD2ABCDACBDOAOBABCD、已知的对角线、相交于点，是等边三角形。求证：四边形是矩形。AOBOA=OBABCDAC=2OABD=2OBAC=BDABCD证明：是等边三角形，四边形是平行四边形，，是矩形。要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。3、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。ABCDE定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。对角线：相等互相垂直平分每条对角线平分一组对角。边:对边平行四边相等角：四个角都是直角图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1、正方形菱形2、一内角是直角矩形3、一组邻边相等正方形正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法菱形法矩形法①四条边相等，四个角都是直角②对角线互相垂直、平分且相等四边形正方形以四边形为基础：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。对边平行且相等每条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直对角线互相平分四个角都是直角对角相等四条边都相等性质正方形菱形矩形平行四边形图形小结√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√5种识别方法一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结例1、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。证明：∴OA－OM＝OB－ON∴OM＝ON∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°又∵MN∥AB∠1＝∠2＝∠3＝45°∴OA＝OBAB=BC∵四边形ABCD是正方形即：AM=BN∴△ABM≌△BCN∴BM=CN例2、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。ABDF∴四边形ABCD是正方形（)∴DE=DF()DE⊥AC，DF⊥BC∵CD平分∠ACB∴四边形ABCD为矩形()而∠ACB=90°∴∠DEC=90°，∠DFC=90°证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB有三个角是直角的四边形是矩形角平分线的定理有一组邻边相等的矩形是正方形1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF练习1：BC=FC，∠1=∠2，AC=DC2：由1得：∠3=∠HBC，又∠HDF=∠CDB，∠CBD+∠CDB=90°∴∠FDB=180°—∠3—∠HDF=90°2、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：∠CEA＝∠ABG证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。∴AE＝ABAG＝AC∠1＝∠2＝90°又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC∴∠EAC＝∠BAG∴△AEC≌△ABG(SAS)∴∠CEA＝∠ABG3、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？ABCDEFG4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。ABDCFE5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。6、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠EAO=150，求∠BOE的度数。OABCDE7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值。ABCDEPF因为是正方形若对角线AC、BD交于点O那么AO=AC的一半=5∠BAC=45°AC⊥BD又∵PE⊥ACPF⊥BD∴四边形PEOF为矩形∴PF=OE在三角形APE中∠PAE=45°∴AE=PE∴PE+PF=AE+OE=AO=58、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDMN在BC中取P,使BP=2,连DP,则DP是DN+MN的最小值证明:因为ABCD是正方形,所以AC平分角BCD而CP=CM=8-2=6所以,AC垂直平分MP所以,MN=NP所以,DN+MN=DN+NPD,N,P在同一条直线时,DN+NP最小所以:DP是DN+MN的最小值DN+MN的最小值=DP=√(CD²+CP²)=√(8²+6²)=108、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDMN9、已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN垂足为点E，①求证：四边形ADCE是矩形。②当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形，说明理由。ABCEMND10、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC11、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N。（1）求证：MD=MN（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP●●思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于MN，试判断线段AM于BN之间的关系.探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。探究四：如图，有两个大小不等的两个正方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？探究三:若正方形OEFG继续旋转时，AM与BN之间的关系是否还成立？.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别是点E、F.求证：DP=EFFEPDCBA几种特殊四边形的性质平行四边形边角对角线对称性对边平行且相等对角相等、邻角互补两条对角线互相平分中心对称矩形同上四个角是直角互相平分且相等既轴对称又中心对称菱形对边平行、四边相等对角相等、邻角互补互相垂直平分且平分对角同上正方形同上四个角是直角互相垂直平分且相等；平分对角同上平行四边形(1)两组对边分别平行;矩形(2)是平行四边形.且有一个角是直角；菱形（2）是平行四边形，且有一组邻边相等；（1）是平行四边形，有一个角是直角且有一组邻边相等；（2）是矩形，且有一组邻边相等；（3）是菱形，且有一个角是直角；（4）是矩形，对角线互相垂直；（5）是菱形，且对角线相等。正方形(2)两组对边分别相等；(3)一组对边平行且相等；(4)两条对角线互相平分；(5)两组对角分别相等；(1)有三个直角；（3）是平行四边形，并且两条对角线相等；（1）四条边都相等;（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直；几种特殊四边形的常用判定方法ABCDEFGHoA1.下列命题:(1)顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形；(2)顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.(3)顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.(4)顺次连结矩形四边中点所得的四边形还是矩形．其中错误命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个2;如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4②S2+S4=S1+S3③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_________________.解析：过点P分别向AD、BC作垂线段，两个三角形的面积之和42SS等于矩形面积的一半，同理，过点P分别向AB、CD作垂线段，两个三角形的面积之和31SS等于矩形面积的一半.31SS42SS=,21SS所以④一定成立本题利用三角形的面积计算，能够得出②成立，要判断④成立，在这里充分利用所给条件，对等式进行变形.不要因为选出②，就认为找到答案了，对每个结论都要分析，当然感觉不一定对的，可以举反例即可.对于④这一选项容易漏选.2、43:已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2。(1）若CE=1，求BC的长；(2）求证AM=DF+ME。21EMFABCDCBADEFG4:如图11，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形（2）当AE＝2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°．∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BAD－∠BAE＝∠BCD－∠BCE，即∠EAD＝∠ECD．∵∠AED＝∠CED，ED＝ED，∴△AED≌△CED．∴AD＝CD．∴矩形ABCD是正方形．CEEFEGCE（2）FG＝3EF．理由：∵BG∥AD，∴∠G＝∠EAD．由于∠EAD＝∠ECD，∴∠G＝∠ECD．∵∠CEG＝∠FEC，∴△CEG∽△FEC．∴＝．由（1）知CE＝AE，而AE＝2EF，故CE＝2EF．∴EG＝2CE＝4EF，即EF＋FG＝4EF．∴FG＝3EF．5:如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上.（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长.DABCEF解：（1）证明：∵四边形ABCD正方形，∴∠B=∠D=90°,AB=AD.∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF.∴Rt△ABE≌Rt△ADF,∴BE=DF,∵BC=CD,∴CE=CF.22262262