第四章_假设检验_正态分布

假设检验（二）1检验假设的依据是“小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生”原理(概率论中称它为实际推断原理).它是指这样一个信念：概率很小的事件在一次实际试验中是不可能发生的。如果发生了，人们宁愿认为该事件的前提条件起了变化。1.假设检验的基本思想2显著性水平和拒绝域(双侧检验)0临界值临界值a/2a/2样本统计量拒绝H0拒绝H0抽样分布1-a置信水平3H0为真H0为假真实情况所作判断接受H0拒绝H0正确正确第一类错误(弃真)第二类错误(取伪)假设检验的两类错误犯第一类错误的概率通常记为a犯第二类错误的概率通常记为4H0:无罪假设检验中的两类错误(决策结果)陪审团审判裁决实际情况无罪有罪无罪正确错误有罪错误正确H0检验决策实际情况H0为真H0为假未拒绝H0正确决策(1–a)第Ⅱ类错误()拒绝H0第Ⅰ类错误(a)正确决策(1-)假设检验就好像一场审判过程统计检验过程a错误和错误的关系a你不能同时减少两类错误!a和的关系就像翘翘板，a小就大，a大就小6假设检验的步骤根据实际问题所关心的内容,建立原假设H0与备择假设H1在H0为真时,选择一个合适的检验统计量V,它的分布是已知的,由H1确定拒绝域的形式给定显著性水平a,对应的拒绝域双侧检验221()()VVVVaa右边检验1()VVa左边检验()VVa其中1()PVVaa7§9.2正态总体的参数检验8抽样本分布的某些结论(Ⅰ)一个正态总体)1(~)1(22122nXXSnnii22)1(Sn与X相互独立设22)(,)(),(~XDXENX总体的样本为()，则),(~2nNX)1,0(~NnX)1(~nTnSXSnX9(II)两个正态总体设nXXX,,,21是来自正态总体的一个简单随机样本),(~211NXmYYY,,,21是来自正态总体),(~222NY的一个简单随机样本它们相互独立.niiniiXXnSXnX12211)(111令mjjmjjYYmSYmY12221)(11110则)1(~)1()1(~)1(2222222121mSmnSn)1,1(~22222121mnFSS若21则)1,1(~2221mnFSS(3)11设nXXX,,,21是来自正态总体的一个简单随机样本),(~21NXmYYY,,,21是来自正态总体),(~22NY的一个简单随机样本,它们相互独立.则),(~1),(~1221211mNYmYnNXnXmjjnii)1,0(~)()(2221NmnYX),(~2221mnNYX12)1(~)1()1(~)1(22222221mSmnSn222221)1()1(SmSn)2(~2mnYX与222221)1()1(SmSn相互独立132)1()1()()(2222212221mnSmSnmnYX2)1()1(11)()(222121mnSmSnmnYX)2(~mnt(4)14§9.2正态总体的参数检验拒绝域的推导设X~N(2)，2已知，需检验：H0:0；H1:0H0为真时构造统计量)1,0(~0NnXU给定显著性水平a与样本值(x1,x2,…,xn)一个正态总体（1）关于的检验15P(拒绝H0|H0为真)aa)(0210nZXP021()HPUZa所以本检验的拒绝域为0：21azUU检验法1600=0=00021azUUzaa1zUU检验法(2已知)原假设H0备择假设H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域)1,0(~0NnXU1700=0=021atT00a1tTTta)1(~0ntnSXTT检验法(2未知)原假设H0备择假设H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域182.(单个)正态总体方差的假设检验2检验法niixxns122)(1122Es已知条件,总体X~N(,2),x1,x2,,xn为来自于总体X的样本,1.检验假设H0:202分析：s2比较集中地反映了2的信息,若则s2与应接近,因此不能太大或太小.如果太大或太小,应拒绝H0.20220220/s220/s由第七章定理三知))1~12222nsn于是我们选取统计量)2221ns作为检验函数在H0为真的条件下))222201~1nsn20(1)提出检验假设H0:202(2)选取统计量)20221sn(3)给定水平a，查2(n-1)表得22122(1),(1)nnaa使得21)1(2212aanP2)1(222aanP因而检验步骤如下21于是拒绝域22221(0,(1)][(1),)Dnnaa于是2222122(1)(1)nnaa是小概率事件(4)根据样本值x1,x2,,xn算得2的值)20211niixx否则接受假设H0.)1(222na)1(2212na若或则拒绝假设H0；(5)结论.222=02202)1(212na202)1(22na2=022=02202)1()1(2122222nnaa或原假设H0备择假设H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域)1(~)1(22022nSn(未知)23例2某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066.已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.00040.问下一步工艺改进方向？解.据题，老工艺),(~2NX00040.02需考察改革后活塞直径的方差是否步大于改革前的方差？故待检验假设可设为：24H0:2=0.00040；H1:20.00040.取统计量)1(~)1(22022nSn拒绝域0：415.36)24()1(205.01212an415.366.3900040.000066.02420落在0内,故拒绝H0.即改革后的方差显著大于改革前的方差,因此下一步的改革应朝相反方向进行.25设X~N(112),Y~N(222),两样本X,Y相互独立,样本(X1,X2,…,Xn),(Y1,Y2,…,Ym)样本值(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,ym),显著性水平a两个正态总体的相关检验262212121111~(,)~(,)nmijijXXNYYNnnmm122212()()~(0,1)XYNnm221212~(,)XYNnm(1)关于均值差1–2的检验12，已知时271–2=0(12，22已知)2212~(0,1)XYUnmN21Uza1Uza关于均值差1–2的检验Uza1–201–2=01–201–201–2=0原假设H0备择假设H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域282)1()1()()(2222212221mnSmSnmnYX2)1()1(11)()(222121mnSmSnmnYX)2(~mnt当2212且未知，此时291–2=021(2)Ttnma1–201–2=01–201–201–2=01(2)Ttnma(2)Ttnma11~(2)wXYTSnmTnm2)1()1(2221mnSmSnSw其中12,22未知12=22原假设H0备择假设H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域30)1(~)1()1(~)1(2222222121mSmnSn)1,1(~22222121mnFSS当012:H成立时，)1,1(~2221mnFSS(2)关于方差比12/22的检验此时u未知3112=22122212=22122212=2212221(1,1)FFnma(1,1)FFnma关于方差比12/22的检验21(1,1)FFnma或2(1,1)FFnma1,2)1,1(~2221mnFSSF均未知原假设H0检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域备择假设H132例3杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中,现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋24个.其中9个来自一种鸟巢,15个来自另一种鸟巢,测得杜鹃蛋的长度(mm)如下:m=155689.012.2122sy19.820.020.320.820.920.921.021.021.021.221.522.022.022.122.3n=94225.020.2221sx21.221.621.922.022.022.222.822.923.2试判别两个样本均值的差异是仅由随机因素造成的还是与来自不同的鸟巢有关().05.0a33解H0:1=2；H1:12取统计量)2(~11mnTSmnYXTw718.02)1()1(2221mnSmSnSw拒绝域0：074.2)22(025.0tT统计量的值落在0内,因此拒绝H0即杜鹃蛋的长度与来自不同的鸟巢有关.074.2568.30T34例4设机器A,B都生产钢管,要检验A和B生产的钢管的内径的稳定程度.设它们生产的钢管内径分别为X和Y,都服从正态分布X~N(1,12),Y~N(2,22)现从A生产的钢管中抽出18根,测得s12=0.34,从B生产的钢管中抽出13根,测得s22=0.29,设两样本相互独立.问是否能认为两台机器生产的钢管内径的稳定程度相同?(取a=0.1)35解H0:12=22；H1:1222)12,17(~2221FSS查表得F0.95(17,12)=2.59,F0.05(17,12)=0.95110.42(12,17)2.38F拒绝域为:59.22221SS或42.02221SS由给定值算得:,落在拒绝域外,17.129.034.02221ss故接受原假设,即认为内径的稳定程度相同.36作业•习题九1，4，5，7，937