随机过程0-2

第0章补充知识第1页一、期望和方差1．期望设离散型随机变量X的分布律为()kkPXxp1,2,k则()EX1kkkxp设连续型随机变量X的概率密度为，()fx则()EX()xfxdx§2数字特征、特征函数第0章补充知识第2页当X为离散型随机变量，当X为连续型随机变量，函数期望设()YgX则()[()]EYEgX1()kkkgxp则()[()]EYEgX()()gxfxdx第0章补充知识第3页2.方差计算方差时通常用下列关系式：称随机变量的期望为X的方差，即2[()]XEX()DX2[(())]EXEX()DX22[][()]EXEX第0章补充知识第4页解当n为偶数时，由分部积分得当n为奇数时，例设XN(0，1)，求().nEX()nEX2212xnxedx()0nEX()nEX22212xnnxedx2(1)()nnEX依次递推，注意到，故0()1EX0()(1)!!nEXn当n为奇数当n为偶数第0章补充知识第5页设函数)(xf在],[ba上有界，在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，定义回顾：一般定积分的定义1.在有限区间上的一元R-S积分二.斯蒂吉斯积分（S积分）第0章补充知识第6页怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和此称为黎曼积分记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba第0章补充知识第7页bxxxxxabaxgbaxgxfnn1210],[,)(,],[)(),(的一个分割任意作单调上升其中的函数上取实值为定义在设函数定义1[,](1,,)kkkxxkn11()[()()]nkkkkSfgxgx作和式,0,0,存在使对任给若存在实数I2.S积分的定义11max()kkknxx||SI并任意取点只要时，不等式第0章补充知识第8页0()()limbafxdgxS101lim()[()()]nkkkkfgxgxI并称为f(x)关于g(x)在[a,b]上的斯蒂吉斯积分，简称S积分。()()bafxdgx注1）：当F(x)是分布函数，f(x)为连续函数时，积分此时一定存在,)()(baxdFxfbaxdFxf)()(101lim()[()()].nkkkkfFxFxk对任意的分点及任意的取法皆成立，则记第0章补充知识第9页注2）：单点集{b}上的积分定义为}{)()(bxdgxf0lim()()bbfxdgx()[()(0)].fbgbgb可见单点集上的S积分不一定等于0,但在g(x)为连续函数时，单点集上的S积分必等于0。问：?)(1baxdg)).()()(1(agbgxdgba第0章补充知识第10页易知：此性质可以推广到有限多个函数和的情形。性质1性质2设α,β是两个任意常数，则性质33.S积分的常见性质12[]()baf(x)f(x)dgx12()()()()bbaafxdgxfxdgx12()[()()]bafxdgxgx12()()()()bbaafxdgxfxdgx()[()]bafxdgx()()bafxdgx第0章补充知识第11页（S-积分对于积分区间具有可加性）假设bca性质4bccaxdgxfxdgxf)()()()(baxdgxf)()(性质5（分部积分公式）baxgxf)]()([babaxdfxgxdgxf)()()()().()()()()]()([agafbgbfxgxfba其中第0章补充知识第12页定理1.2若f(x)在[a,b]上连续，g(x)的导数g/(x)在[a,b]上存在且g/(x)在[a,b]上黎曼可积，则且存在,)()(xdgxfbadxxgxfxdgxfbaba)()()()(/定理1.3若f(x)在[a,b]上连续，设,)()(,),[)(1存在则取常数值在若xdgxfccxgbakk)]()0()[()()(agagafxdgxfba且bccccan210)]0()0([)(11kknkkcgcgcf)]0()()[(bgbgbf第0章补充知识第13页4.在无穷区间(－∞,∞)上的一元S-积分注：有限区间[a,b]上的S-积分性质1)~5)可推广至无穷区间（－∞,∞）上的S积分。()()lim()(),baabIfxdgxfxdgx则记如果f(x),g(x)皆在任一闭区间[a,b]上有定义，其中g(x)在上有界且单调上升，(,)并称I为f(x)关于g(x)在上的(广义)S-积分。(,)定义若lim()()baabfxdgx存在，第0章补充知识第14页可将卷积运算化成乘法运算；可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题；……….引言特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于：三、特征函数的定义第0章补充知识第15页1.复随机变量2.数学期望3.特征函数定义设X，Y为二维（实）随机变量，则称为复随机变量.ZXiY()()()EZEXiEY设X为随机变量，称复随机变量的数学期望itXe()Xt[]itXEe为X的特征函数，其中t是实数。还可写成()Xt[cos][sin]EtXiEtX第0章补充知识第16页注意点(1)(2)当X为离散随机变量时，(3)当X为连续随机变量时，1()kitxkkeptd()()itxefxxt这是f(x)的傅里叶变换(1)特征函数是一个实变量复值的普通函数。第0章补充知识第17页例1（教材P200）常见分布的特征函数。1）设随机变量X服从单点分布,求其特征函数。解Xa1p()1itate.itae2）设随机变量X服从两点分布,求其特征函数。解01Xpqp01()ititteqep.itqpe第0章补充知识第18页（3）设随机变量X服从泊松分布,求其特征函数。()(0,0,1,2,).!kkpPXkekk解0()itkkktep0()!itkkeekiteee(1).itee0!kitkkeek第0章补充知识第19页（4）设随机变量X服从U(a,b),求其特征函数。1(,)(),0xabfxba解其他1()bitxatedxba.()itbitaeeitba（5）设随机变量X服从N(0,1),求其特征函数。221(),2xfxex解()()itxtefxdx22te第0章补充知识第20页(6)设随机变量X服从指数分布,求其特征函数。0(),(0)0xexfx解其他0().itxxteedx00cossinxxetxdxietxdx2222titt11.ti22()itt第0章补充知识第21页逆转公式设随机变数X的分布函数和特征函数分别为F(x)和则对于F(x)的任意连续点有),(t),(2121xxxx和12211()()lim().2itxitxTTTeeFxFxtdtit此定理的证明略去。.)()(,)(,,:1221定的值完全由特征函数决的连续点时为当定理表明注xFxFxFxx反过来，已知X的特征函数，也可以确定其分布函数。第0章补充知识第22页唯一性定理随机变量的分布函数由其特征函数唯一决定。,)(,)(12的连续点趋于沿令的连续点为现取xFxxFxx)]()([lim)(11xFxFxFx111limlim().(*)2itxitxTTxTeetdtit.)()(,特征函数决定处的值完全由进而在每一点在连续点这表明xF证1221,,(),()().xxFxFxFx由逆转公式知当为的连续点时的值完全由特征函数决定第0章补充知识第23页（2）设X为取整数值的随机变量，其分布列为其特征函数为则{},3,2,1,0,1,2,3,,kpPXkk(),itkkktpe1().2itkkpetdt定理（1）设X为具有密度函数f(x)的连续型r.v.，特征函数为-1()().2itxfxetdt-().|()|,ttdt如果则第0章补充知识第24页4.特征函数性质|()|(0)1.t性质1随机变量X的特征函数满足:)(t()()itXitxtEeefxdx证仅证连续型情形()(0)1.fxdx|()||()|itxtefxdx|()|itxefxdx■第0章补充知识第25页性质2()(),(()()).tttt表示的共轭复数.)(t()()itXitxtEeefxdx证()itxefxdx■性质3r.v.X的特征函数满足在R1上一致连续。)(t证明略。()itYYtEe证性质4设X的特征函数,则Y=aX+b的特征函数为()Xt()Yt()().ibtYXteat()[]itaXbEe[]ibtiatXEee().ibtXeat■第0章补充知识第26页证由X与Y相互独立，知()()[][]itXYitXitYXYtEeEee性质5独立随机变量和的特征函数等于各随机变量的特征函数的积，即若X与Y相互独立，则()()().XYXYttt()()()().itXitYXYEeEett注：本结果是概率论中为何要引进特征函数的重要原因。,itXitYee也相互独立。■第0章补充知识第27页:X证现只对是连续型的情况加以证明()()()()kkitxdtefxdxdt性质6设随机变量X的n阶矩存在，则的n阶导数存在，且有()()nt)(t()(*)()kitxdefxdxdt()kkitxixefxdx上式成立的原因是求k阶导后的积分是一致收敛的。||()kkitxixefxdx||()kxfxdx()(0)()().kkkiEXkn第0章补充知识第28页()kkitxixefxdx()kkitXiEXe令t=0,得()()(0).kkkEXi()(0)()kkkiEX()()kt()kkitxixefxdx/1()(0);EXi特别2//()(0).EX■性质6设随机变量X的n阶矩存在，则的n阶导数存在，且有()()nt)(t()(0)()().kkkiEXkn第0章补充知识第29页例2试说明下列函数不是特征函数;11)2(;sin)1(ttt1(3)ln(||);(4).1||etit;10sin0)1(因为解.111,01)2(ttt时因为当.1|)