第三章 第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例

第八节正弦定理、余弦定理的应用举例1.三角形的面积公式（1）（h表示边a上的高）.（2）（3）(r为三角形的内切圆半径).1Sah21SbcsinA21absinC21acsinB2.1Sr(abc)22.实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_____的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）.上方(2)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③)(i)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向；(ii)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向；(iii)南偏西等其他方向角类似.(4)坡角与坡度：①坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度).坡度又称为坡比.3.用正、余弦定理解应用题的一般步骤（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清所给量之间的关系.（2）根据题意画出示意图，将实际问题转化为解三角形的问题.（3）选择正弦定理或余弦定理解三角形.（4）将三角形的解还原为实际问题，解题时要注意实际问题中的单位、近似计算等要求.判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.(1)面积公式中其实质就是面积公式(h为相应边上的高)的变形.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()（4）方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是()(5)仰角、俯角、方位角的主要区别在于参照物不同.()111SbcsinAabsinCacsinB222，0,.2［］111Sahbhch2220,.2［）【解析】（1）正确.如即为边a上的高.（2）错误.俯角是视线与水平线所构成的角.（3）正确.方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置关系的.（4）正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为［0,2π)，而方向角大小的范围由定义可知为11SabsinCah,220,.2［）(5)正确.由仰角、俯角、方位角的定义知，仰角、俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.答案：(1)√（2）×(3)√(4)√(5)√1.在△ABC中,则S△ABC的值为()【解析】选C.由已知得A,AB1,AC2,31A2B13C2D3A,ABc1,ACb2,3ABC1133SbcsinA21.22222.在△ABC中,则cosA等于()【解析】选D.由已知得得，即故ABC2AC5,AB2,S2，5A525B55C525D5ACb5,ABc2,ABC2S212bcsinA,221252sinA,225sinA.5225cosA1sinA.53.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的方向为()(A)北偏西5°(B)北偏西10°(C)北偏西15°(D)北偏西20°【解析】选B.由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.4.已知A，B两地的距离为10km,B，C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°，则A，C两地的距离为______km.【解析】如图所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700，答案：AC107km.1075.某运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度为15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为米(如图所示),则旗杆的高度为米.106【解析】如图所示,依题意可知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,∴∠EAC=180°-45°-105°=30°.由正弦定理可知∴AC=·sin∠CEA=(米),∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB==30(米).即旗杆的高度为30米.答案:30CEAC,sinEACsinCEA203CEsinEAC32032考向1与三角形面积有关的问题【典例1】（1）（2013·中山模拟）已知O为△ABC内一点，满足且则△OBC的面积为()OAOBOCABAC2，，0BAC3，1A23B33C22D3（2）（2013·黄山模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，设S为△ABC的面积，满足则角A的最大值是()（3）(2013·北京模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A是锐角,且b=2a·sinB.①求角A的度数;②若a=7,△ABC的面积为,求△ABC的周长.2221Sbca,4A6B4C3D23103【思路点拨】（1）先确定O点的位置，可知O为△ABC的重心，再利用向量关系求得△ABC面积即可求得S△OBC.（2）由余弦定理及面积公式可得tanA的范围，再求最大值.（3）利用正弦定理得角A,再利用余弦定理得b+c,从而可求周长.【规范解答】（1）选B.由可知O为△ABC的重心，故由得c·bcos∠BAC=2,又故bc=4,故OAOBOC，0OBCABC1SS,3ABAC21cosBAC,2ABC113SbcsinBAC43,222OBCABC13SS.33（2）选B.由得∴tanA≤1,又∴角A的最大值为2221S(bca)411bcsinA2bccosA,240A,0A,4.4(3)①由已知得由正弦定理得sinA=.又A为锐角,故A=②由余弦定理得cosA=即b2+c2-49=bc,由bcsinA=得bc=40,故b2+c2=89,得(b+c)2=169.又b0,c0,∴b+c=13,故△ABC的周长为20.absinB32，absinAsinB32.3222bca2bc，12103，【互动探究】若将本例题(1)中“”改为“O为△ABC中线AD的中点”，其他条件不变，则△OBC的面积又该如何求解?OAOBOC0【解析】由得cbcosA=2.又∴bc=4,又∵O为△ABC中线AD的中点,故ABAC2BAC,31cosBAC,2ABC1SbcsinBAC3.2＝OBCABC13SS.22【拓展提升】三角形的面积公式已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，ha,hb,hc分别为边a,b,c上的高.（1）已知一边和这边上的高:（2）已知两边及其夹角：abc111Sahbhch.222111SabsinCacsinBbcsinA.222（3）已知三边：其中（4）已知三边和外接圆半径R，则abcS.4RSppapbpc,abcp.2【变式备选】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(1)求的值.(2)若求△ABC的面积S.cosA2cosC2ca.cosBb1cosBb2,4，sinCsinA【解析】(1)方法一:在△ABC中，由及正弦定理可得即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB，则cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB，sin(A+B)=2sin(C+B)，而A+B+C=π，则sinC=2sinA，即cosA2cosC2cacosBbcosA2cosC2sinCsinAcosBsinB，sinC2.sinA方法二：在△ABC中，由可得，bcosA-2bcosC=2ccosB-acosB，由余弦定理可得整理可得c=2a.由正弦定理可得(2)由c=2a及可得4=c2+a2-2accosB=4a2+a2-a2=4a2,则a=1，c=2，即cosA2cosC2cacosBb222222222222bcaabcacbacb2caa2c，sinCc2.sinAa1cosB,b2421115SacsinB121cosB224，15S.4考向2测量距离问题【典例2】（1）（2013·聊城模拟）如图,设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离是50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A502mB503mC252m252Dm2(2)（2013·马鞍山模拟）甲船在岛A的正南B处，以4km/h的速度向正北方向航行，AB=10km,同时乙船自岛A出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()(3)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°,则A，C两点之间的距离为______千米.5Ah1415Bh7C2hD2.15h【思路点拨】（1）先求得∠ABC，再利用正弦定理可解.（2）画出图形，利用余弦定理求出两船间的距离，再用二次函数知识求最值即可.（3）利用已知条件求得∠ACB，再利用正弦定理求解.【规范解答】(1)选A.由∠ACB=45°，∠CAB=105°,得∠ABC=30°,由正弦定理得ABACsinACBsinABC＝，250ACsinACB2AB502m.1sinABC2＝＝(2)选A.如图，设经过th甲船航行到C处，乙船航行到D处.在△ACD中，AC=10-4t,AD=6t,由余弦定理得CD2=(10-4t)2+(6t)2-2·(10-4t)·6t·cos120°=28t2-20t+100.故当时,CD2有最小值，即两船之间的距离最短.205t(h)22814(3)由∠CAB=75°,∠CBA=60°,得∠ACB=180°-75°-60°=45°.由正弦定理得即（千米）.答案：ABAC,sinACBsinCBA32ABsinCBA2AC6sinACB226【互动探究】若将本例（1）中A，B两点放到河岸的同侧，但不能到达，在对岸的岸边选取相距km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则A，B两点之间的距离又如何求解?3【解析】如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.ACCD3.＝＝由正弦定理得在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，即即两点A，B之间的距离为3sin7562BC.sin602＋＝＝2226262AB(3)()23cos75522＋＋＝＋－＝，AB5km.＝5km.【拓展提升】解决距离问题的技巧解决此类问题的实质就是解三角形，一般都离不开正弦定理和余弦定理.在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解.解题时要注意：①基线的选取要恰当、准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当.【变式备选】如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？5(33)203【解析】由题意知海里，∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°，∴∠ADB