随机过程 3.1-3.4

随机过程第3章随机过程授课人：刘玉婷[e-mail]理学院数学系目录3.1随机过程的基本概念3.2随机过程的数字特征3.3离散时间和离散型随机过程3.4正态随机过程3.5Poisson过程3.6平稳随机过程目录3.1随机过程的基本概念3.2随机过程的数字特征3.3离散时间和离散型随机过程3.4正态随机过程3.5Poisson过程3.6平稳随机过程例1：某服务站在[0，t]内来访的顾客数，记为N(t)。在固定时刻t，N(t)是一个随机变量，如果想研究该随机变量受时刻t的影响程度，则随机变量族{N(t)，t≥0}才是我们的研究对象。例2：质点在直线上的随机徘徊。该质点最初在原点，以后每单位时间均等地向左或向右移动一格。设Xn为质点在第n次移动后的坐标。固定n，Xn为一随机变量。当想研究质点整个变化时，则随机变量族{Xn，n≥0}才是我们的研究对象。3.1随机过程基本概念..:,,,,,,成为状态空间成为时间参数集，随机过程为的一族随机变量依赖于与它相对应，则称的随机变量于上，取值，都存在定义在为一指标集，为一概率空间，ETTttXttXEPFTtTPF一、定义.:,的二元函数和为由定义知，tTttX3.1随机过程基本概念上的一个随机变量；是，给定PFtXt,,,1000.,2000上的一个实值函数是，给定TtX.:,,0的一个样本轨道是并称TttXtX.,,30xtxXExTtXtt态时刻，随机过程处于状表示；简记随机过程为3.1随机过程基本概念说明二、随机过程的分类ET离散连续离散离散随机序列（随机徘徊）连续随机序列（每时刻的温度）连续离散型随机过程（顾客流）连续型随机过程（股票价格）3.1随机过程基本概念三、有穷维分布函数布函数为是一维随机变量，其分，1101tXTt1111xXPxFtt.,的一维分布函数称为随机过程TtXt分布函数为：合是二维随机向量，其联，21,,2210ttXXTtt2121,2121,,xXxXPxxFtttt.,的二维分布函数称为随机过程TtXt1）定义3.1随机过程基本概念其联合分布函数为：维随机向量，是，nXXTttntt,,,,31n10nttnttxXxXPxxFn,,,,11,,1n1.,维分布函数的称为随机过程nTtXt.,,,,1:,,4n11,,0n1的有穷维分布函数族称为TtXTttnxxFtntt3.1随机过程基本概念2）性质.,,,,11,,10n1元函数单调非降，右连续是非负，，nxxFRxxnttn0,,lim21,,0n1nttxxxFi1,,lim1,,n11nttxxxxFn.,,,,311n1,,1,,0nnkkkkttnttxxFxxF3.1随机过程基本概念mttxxFnmm,,41,,01，则若,,,,,1,,n1mttxxFnttxxxxFnm,,lim1,,n113.1随机过程基本概念目录3.1随机过程的基本概念3.2随机过程的数字特征3.3离散时间和离散型随机过程3.4正态随机过程3.5Poisson过程3.6平稳随机过程3.2随机过程的数字特征一、期望函数则，，密度函数为为的一维分布函数，随机过程,xfxFTtXTttttdxxxfxxdFXEtttXt.,的期望函数称为随机过程TtXt3.2随机过程的数字特征二、方差函数则，，密度函数为为的一维分布函数，随机过程,xfxFTtXTtttt22tttXEXXEXVart.,的方差函数称为随机过程TtXt222tttXEXXExdFxt.,,22为实二阶矩过程过程则称随机若TtXxdFxXEttt，Ttt21,.,的协方差函数称为随机过程TtXt三、协方差函数21,,21ttXXXCovttctXXttcttt22121,，当2211ttttEXXEXXE2121ttttXEXEXXE3.2随机过程的数字特征，Ttt21,.,的自相关函数称为随机过程TtXt四、自相关函数2121,ttXXXEtt22121,tXXEttttt，当3.2随机过程的数字特征1,,n1nTtt，.,的有限维特征函数称为随机过程TtXt五、特征函数XuieEuutt,n1n1,,;,,)(11ntntXuXuieE3.2随机过程的数字特征目录3.1随机过程的基本概念3.2随机过程的数字特征3.3离散时间和离散型随机过程3.4正态随机过程3.5Poisson过程3.6平稳随机过程一、定义.,,,1成为离散时间随机过程这种随机过程时，取离散值当时间参数集knnT.,,,1间序列所构成的序列，成为时是一串随机变量此时，knntXXX.0,nXn离散时间过程记为3.3离散事件和离散型随机过程二、例子,,,,00,2110是独立同分布随机变量，，其中设一随机游动过程XXXYYnYniinn例3-2：..111nniiYVarYEpXPpXP，求，nYnnPnp1np3.3离散事件和离散型随机过程121pppXEi1211pnEXXEYEniiniin112ppXEi211121pnXVarXVarYVarniiniin222121pEXXEXVariii3.3离散事件和离散型随机过程.0,0,,00YtYtt其中内发生的次数，记为考虑随机点在例3-3：内发生奇数次若随机点在内发生偶数次若随机点在求其数字特征再定义如下随机过程，ttXt,0,1,0,1tktkektkYPtP!即且无关与个随机点发生的概率内有设,Poisson~-,,00000tYYYtkttttttt3.3离散事件和离散型随机过程1tXP20ttYYPtptp202ttteee!4!2142ttet212te3.3离散事件和离散型随机过程1tXP31ttYYPtptp31!5!353tttettXXEtttteee2222121212te3.3离散事件和离散型随机过程121ttXXP1,11,12121ttttXXXXP212121211211212222tttttteeee1,11,12121ttttXXPXXP1,11,1121121ttttttXXPXXP1111121121ttttttXPXPXPXP21122tte210tt3.3离散事件和离散型随机过程121ttXXP1,11,12121ttttXXXXP212121211211212222tttttteeee1,11,12121ttttXXPXXP21122tte1,11,1121121ttttttXXPXXP210tt3.3离散事件和离散型随机过程21221,ttXett2121,ttXXXEtt1212122222121tttttteee2122112,0ttXetttt，当3.3离散事件和离散型随机过程222ttXEXXEt2,tXXttte413.3离散事件和离散型随机过程目录3.1随机过程的基本概念3.2随机过程的数字特征3.3离散时间和离散型随机过程3.4正态随机过程3.5Poisson过程3.6平稳随机过程3.4正态随机过程nttxxfn,,1,,1Tnxx121221expdet21一、定义.n0,随机过程或高斯过程态分布，则称它为正态维分布都是正的任意如果随机过程tXtjtitjtitjjiiXXXXttttiXijEXXEXXEttc,jjijijtitttttXXXVarXVarXXCov,21,ttjiXXXEtt3.4正态随机过程.方差函数和相关系数的期望函数、一、二阶矩函数，即它维分布仅依赖于它的高斯过程任意njtitXXttttXEXEXXE21213.4正态随机过程nttxxfn,,1,,1nittittniinx122221exp211二、性质.,,,,n0,1相互独立则两两不相关个不同时刻采样在如果高斯过程ntttXXtXniitnittitxfxiiii11222exp21