随机过程13(3.3)

各态历经性是1931年在统计力学中提出来的,它的直观意义是一个平稳过程如果是各态历经的,则它的每一个样本函数几乎必须经历它所具有的各种状态.三平稳过程的各态历经性时间平均定义设{X(t),-∞t+∞}是平稳过程,若均方极限1()..()2TTTXtlimXtdtT存在则称X(t)为{X(t),-∞t+∞}在(-∞,+∞)上的时间平均.1.各态历经的定义若对任意固定的τ∈R,均方极限1()()..()()2TTTXtXtlimXtXtdtT存在则称X(t)X(t+τ)为{X(t),-∞t+∞}在(-∞,+∞)上的时间相关函数.时间相关函数定义对参数集为t≥0的平稳过程,即{X(t),t≥0}.01()..()TTXtlimXtdtT时间平均时间相关函数01()()..()()TTXtXtlimXtXtdtT各态历经性定义设{X(t),-∞t+∞}是平稳过程(1)若以概率1有X(t)=mX(t)则称{X(t),-∞t+∞}的均值具有各态历经性.(2)若对任意的τ∈R,以概率1有X(t)X(t+τ)=RX(τ)则称{X(t),-∞t+∞}的相关函数具有各态历经性.若平稳过程{X(t),-∞t+∞}的均值函数与相关函数都具有各态历经性,则称{X(t),-∞t+∞}具有各态历经性.或称{X(t),-∞t+∞}是各态历经过程.举例1()cos(),,,U[02]{(),}.XtattaXtt设其中为常数，，，试研究的各态历经性解2()0,(,)cos2XXamtRtt即过程是平稳过程.1()..()2TTTXtlimXtdtT由定义:1..cos()2TTTlimatdtT..(coscossinsin)2TTTalimttdtT0..coscosTTalimtdtTcossin..0TaTlimT2TcossinlimE0aTT1()()..()()2TTTXtXtlimXtXtdtT由定义2..cos()cos(())2TTTalimttdtT2..[cos(22)cos]4TTTtalimdtT22..[sin2cos(2)cos]42TTaalimT2cos2a22TlimEsin2cos(2)04TTa{(),}Xtt具有各态历经性.举例2(),,1(),1,2,33{(),}.XtXtXPxiiXtt设其中具有概率分布试讨论的各态历经性解214()2,(,)E[]3XXmtRttX即过程是平稳过程1()..()2TTTXtlimXtdtT而1..2TTTlimXdtTX1()()..()()2TTTXtXtlimXtXtdtT21..2TTTlimXdtT2X2142113PXPX显然（）和（）不成立{(),}Xtt不具有各态历经性.2.均值各态历经的判定定理设{X(t),-∞t+∞}是平稳过程,则{X(t),-∞t+∞}均值具有各态历经性的充要条件是221lim(1)()022TXTTCdTT证明由定义{X(t),-∞t+∞}均值具有各态历经性的充要条件是()1()XXtPm而上式成立的充要条件是)[]0(XtD1[][l.i.m])()2(TTTXDDXtdtTt又1lim[()]2TTTDXtdtT1[()]2TTDXtdtT由方差定义2E11E()[2)](2TTTTXtdtdtTTXtE[()]XXtm21E(())2TXTXtmdtT再由模的定义21E[(())(())]4TTXXTTXsmdsXtmdtT21E(())(())4TTXXTTXsmXtmdsdtT21(,)4TTXTTCstdsdtT21()4TTXTTCtsdsdtT1212(),()svuutstvuvts令则11(,)221(,)21122stuvJ21()4XDCuJdudvTuv2T2T2T2T2uvT2uvT2vuT2vuTDD新积分区域0222211()42TuXTTuduCudvT（vu（先后积分）2202())TTuXTuduCudv0221()(42)8XTCuTuduT（20()(42))TXCuTudu021()(1)22XTuCuduTT[20()(1)]2TXCuduuTuuuu221(1)()22TXTCuduTTu221(1)()22TXTCdTT221[]lim(1)()(2)2TXTTDCdTtTX所以{X(t),-∞t+∞}均值具有各态历经性的充要条件是221lim(1)()022TXTTCdTT1.若{X(t),-∞t+∞}是实平稳过程,则均值具有各态历经性的充要条件是201lim(1)()02TXTCdTT一些推论()XC此时为偶函数2.对参数集为t≥0的平稳过程{X(t),t≥0},均值具有各态历经性的充要条件是1lim(1)()0TXTTCdTT02lim(1)()0TXTCdTT特别当{X(t),t≥0}为实平稳过程,则相应结论为lim()0XC则{X(t),-∞t+∞}的均值具有各态历经性.3.设{X(t),-∞t+∞}是平稳过程,如果证明lim()0XC110,0T,(T)XC对当时，有2222110(1)()(1)()2222TTXXTTCdCdTTTT又221()2TXTCdT11,22TTTT现限制:即2T2T1T1T0111211()()22TXXTTTCdCdTT11112(0)2(2)22XTCTTTT1(0)2XTCT11max{(0),}2MXTTTC取MTT则时，1(0)23XTCT221lim(1)()022TXTTCdTT即所以{X(t),-∞t+∞}的均值具有各态历经性.举例1设{X(t),t≥0}是只取±1两个值的随机过程,其符号的改变次数是一参数为λ的Poisson过程{N(t),t≥0},且对任意的t≥0,P(X(t)=－1)=P(X(t)=1)=1/2.试讨论{X(t),t≥0}均值的各态历经性.解20,(,).XXmRtte为平稳过程2()XCe20022lim(1)()lim(1)TTXTTCdedTTTT211lim(1)02TTeTT所以{X(t),t≥0}的均值具有各态历经性.举例22()cossin,,,N(0,){(),}.XtAtBtABttXt设其中相互独立，且都服从正态分布的随机变量，常数.试讨论均值的各态历经性20,(,)cos.XXmRtt为平稳过程解221lim(1)()22TXTTCdTT2()cosXC2221lim(1)cos22TTTdTT221cos2lim()02TTTT{(),}.Xtt所以的均值具有各态历经性3.相关函数各态历经性的判定设{X(t),-∞t+∞}是平稳过程,令()()(),,YtXtXttE[()]E[()()]XYtXtXtR则()，所以{X(t),-∞t+∞}的相关函数各态历经性的讨论可转化为对过程{Y(t),-∞t+∞}的均值各态历经性的讨论.()()XmtRY即同时还要求{Y(t),-∞t+∞}是平稳过程.定理设{X(t),-∞t+∞},以及对任意固定的τ,{Y(t),-∞t+∞}均为平稳过程,则{X(t),-∞t+∞}的相关函数具有各态历经性的充要条件是2221lim(1)()())022TYXTTuRuRduTT（证明22()())()(YYYYXCuRuRRum因为由均值各态历经性的充要条件221lim(1)0,22TTYTCuduTTu()即222()(1lim(1)02))2TYTXTRuRuduTT（1.设{X(t),t∈R},以及对任意固定的τ,{Y(t),t∈R},均为实平稳过程,则{X(t),t∈R}的相关函数具有各态历经性的充要条件是2201lim(1)()())02TYXTuRuRduTT（一些推论2.对参数集为t≥0的平稳过程{X(t),t≥0},其相关函数具有各态历经性的充要条件是21lim(1)()())0TYXTTuRuRduTT（特别{X(t),t≥0}为实平稳过程,则其相关函数具有各态历经性的充要条件是202lim(1)()())0TYXTuRuRduTT（3.设{X(t),t∈R},为零均值的实平稳的正态过程,若lim()0XR则{X(t),t∈R}的相关函数具有各态历经性.证明()()(),,YtXtXtt令E[()]E[()()]YtXtXt则,XRt()，与t无关常数.R(,)E[()()]YttYtYutuE[()()()()]XtXtXtXtuu以上为四维正态变量积的期望.它等于两两二阶原点矩的积之和.(第一章14题）22()()()()XXXXRRuRuRutu与无关，仅与有关.{(),}.Ytt为平稳过程2()()YYYCuRum又2lim()lim(())YYYuuCuRum222lim(()()()())XXXXYuRRuRuRumlim()0XR（）0{(),}.Ytt的均值具有各态历经性{(),}.Xtt即的相关函数具有各态历经性4.各态历经性的应用11()NXkTmxkNN11()()(())NrXkTTTRrxkxkrNNrNN