第三章 费米分布及玻耳兹曼分布

1第三章半导体中载流子的统计分布2本章要点理解费米分布和玻尔兹曼分布的前提条件，及费米函数的性质。熟悉导带电子和价带空穴浓度的分析推导过程。掌握杂质半导体费米能级随杂质浓度和温度的变化关系。掌握本征、杂质半导体中载流子浓度的计算。简并半导体的简并化条件及简并情况下载流子浓度的计算。热平衡态下半导体中载流子浓度满足关系式。3引言热平衡状态:在一定的温度下，给定的半导体中载流子的产生和复合同时存在，最后达到一动态平衡。热平衡载流子浓度：当半导体处于热平衡状态时，半导体导带电子浓度和价带空穴浓度都保持恒定的值，这时的电子或空穴的浓度称为热平衡载流子浓度。43.1状态密度3.1.1三维情况下的自由电子运动3.1.1三维情况下的自由电子运动3.1.2状（能）态密度的定义3.1.2状（能）态密度的定义3.1.2状（能）态密度的定义3.1.2状（能）态密度的定义3.1.2状（能）态密度的定义3.1.2状（能）态密度的定义3.1.2状（能）态密度的定义假定有s个相同椭球，可得到状态密度：**1/21/23)()()4s(8xyzCcmmmEEdZgEVdEh若等能面为旋转椭球面，即lztyxmmmmm***;*2/321/3()ndnltmmsmm并令：。mdn效质量导带底电子状态密度有:2/132/3)()(24)(CncEEhmVEg则：0056.08;08.16m，m，sm，m，dndn对锗个对称状态导带底共有对硅3.1.2状（能）态密度的定义3.1.3状（能）态密度的总结3.1.3状（能）态密度的总结3.2费米能级和载流子的统计分布热平衡状态下，电子按能量大小，具有一定的统计分布规律性。电子是费米子，遵从费米分布。3.2.1费米分布函数绝对温度T下的物体内，电子达到热平衡状态时，一个能量为Ｅ的独立量子态，被一个电子占据的几率f(E）为：电子的费米分布函数TkEEnFeEf011K0为玻尔兹曼常数。EF为一个类似于积分常数的一个待定常数，称为费米能级。193.2.1费米分布函数它描述了在热平衡状态下，在一个费米粒子系统（如电子系统）中属于能量E的一个量子态被一个电子占据的概率。费米分布函数与温度的关系T=0K：若EEF，则f(E)=1；若EEF，则f(E)=0。T0K：若E=EF，则f(E)=1/2；若EEF，则f(E)1/2；若EEF，则f(E)1/2；20温度升高，能量比EF高的量子态被电子占据的概率上升。993.0)(,5007.0)(,5EfkTEEEfkTEEFF时时可见，温度主要影响费米能级附近的电子状态。3.2.1费米分布函数关于费米能级的几个要点：1、一般可以认为，在温度不太高时，能量大于EF的电子态基本上没有被电子占据；能量小于EF的电子态，基本上被电子所占据，而电子占据E=EF能态的几率在各种温度下总是1/2；2、EF标志了电子填充能级的水平，EF位置越高，则填充在较高能级上的电子就越多。21空穴的费米分布函数：10Vexp11)(－＋－TkEEEfEfFfV(E)与1-f(E)是关于EF是对称的，即为电子-空穴几率对称性。3.2.1费米分布函数22费米能级在能带中的位置：对于金属晶体，价电子只能部分填满最外的导带，费米能级位置在导带中。对于半导体晶体，价电子填满了价带，最外的导带是空的，费米能级位置在禁带内，且随其中的杂质种类、杂质浓度以及温度的不同而改变。3.2.1费米分布函数233.2.2玻耳兹曼分布函数)E-Eexp(-exp1fF1FkTkTEEEF－＋1exp)/kT][(E-EF,时kTEEF即这时电子的费米分布函数转化为电子的玻耳兹曼分布函数：此时,电子的费米分布函数近似为TkEEEF0Bexpf1.电子的玻耳兹曼分布函数24)E-Eexp(-exp1fF1VFkTkTEEEF－＋1exp-E)/kT][(EF,时kTEEF这时空穴的费米分布函数转化为空穴的玻耳兹曼分布：此时,空穴的费米分布函数近似为TkEEEF0VBexpf类似地，若2.空穴的玻耳兹曼分布函数3.2.2玻耳兹曼分布函数非简并系统和简并系统通常将可以用玻尔兹曼分布描述的系统称为非简并系统，而必须用费米分布描述的系统称为简并系统。对于电子系统，当填充的能级的位置都能满足:E-EFkT时，可以用玻尔兹曼分布来计算电子的填充几率，此时的电子系统是非简并的；对于空穴系统，当填充的能级的位置都能满足:EF-EkT时，可以用玻尔兹曼分布来计算空穴的填充几率，此时的空穴系统是非简并的。3.2.2玻耳兹曼分布函数26意义：当粒子系统中的微粒子非常稀少时，粒子必须遵守的泡利不相容原理自动失去意义。即系统中每一个量子态不存在多于一个粒子占据的可能性。993.0)(,5007.0)(,5EfkTEEEfkTEEFF时时除去在EF附近的几个kT处的量子态外，在处，量子态为电子占据的几率很小。即在的条件下，泡里不相容原理失去作用，费米分布和波耳兹曼分布这两种统计的结果是相同的。kTEEFkTEEF3.2.2玻耳兹曼分布函数27低掺杂半导体中，载流子统计分布通常遵顺玻耳兹曼统计分布。这种电子系统称为非简并性系统。高掺杂半导体，载流子服从费米统计，这样的电子系统称为简并性系统。3.2.2玻耳兹曼分布函数283.2.3导带电子浓度和价带空穴浓度载流子浓度：单位体积内的载流子数电子按量子态分布(费米或玻耳兹曼分布)量子态按能量的分布(状态密度)处理方法：先求出E~E+dE范围内电子数，再通过整个能带积分,积分值应等于总电子数的条件,求出电子浓度。293.2.3导带电子浓度和价带空穴浓度EE+dE内的量子态数:dZ=gc(E)dE;电子占据能量为E的量子态的概率:f(E);则EE+dE内的所有量子态上的电子数为:dN=f(E)gc(E)dE先考虑导带:30。mdn效质量导带底电子状态密度有:2/132/3)()(24)(cncEEhmVEg对旋转椭球形等能面:*2/321/3()ndnltmmsmmEEETkEEVdNcFdexphm24dn21032/3n－所以EE+dE间的电子浓度为：3.2.3导带电子浓度和价带空穴浓度dN=f(E)gc(E)dETkEEEF0Bexpf设Ec－EfK0T，采用玻尔兹曼分布函数31假设导带底的能量为Ec,而导带顶的能量为Ec’，则整个导带内的电子浓度为:'dexphm24n21032/3n0CCEEcFEEETkEE－引入变量x＝(E-Ec)/k0T,作代换上式变为：dxexphm24n210023032/3n0'xxFcexTkEETk－式中x'=(EC'-EC)/k0T。3.2.3导带电子浓度和价带空穴浓度32对于实际半导体，导带的能量间隔为几个eV时，x’的值在几十以上，再依据函数x1/2e-x随x变化规律(见图3-4)，积分上限x’可用无穷大来代替。得到导带中电子浓度为：TkEETkFC032/30n0exphm22n－202/1dxexx利用积分公式3.2.3导带电子浓度和价带空穴浓度3332/30nhm22TkNc令称NC导带的有效状态密度，Nc正比于T3/2，是温度的函数。)(En或expnCBC00FC0fNTKEENC－因此，导带电子浓度可表示为:3.2.3导带电子浓度和价带空穴浓度343.2.3导带电子浓度和价带空穴浓度此式的物理意义是：把导带中所有的量子态都集中在导带底Ec，而它对应的量子态数为Nc，则导带中的电子浓度等于这些量子态中容纳的电子数。TKEEEfFcc0Bexp)(为电子占据能量为EC的量子态的几率。其中：353.2.3导带电子浓度和价带空穴浓度TkEEN0VFV0expp用类似的处理办法，热平衡状态下，非简并半导体的价带空穴浓度为：式中：称为价带的有效状态密度。32/30PVhm22TkNTkEEEfVFV0exp)(为空穴占据能量为EV的量子态的几率。其物理意义是：把价带中所有的量子态都集中在价带顶EV，而它的量子态数为NV,则价带中的空穴浓度就是NV个量子态中包含的空穴数。363.2.3导带电子浓度和价带空穴浓度1.导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度取决于温度T和费米能级EF的位置。2.温度的影响来源于两个方面，一是Nc和NV随温度变化。二是玻耳曼分布函数中的指数随温度变化。讨论373.2.4载流子浓度乘积半导体中载流子浓度的乘积为：TkENNTkEENNVCVCVC0g000expexppn－－把Nc、NV的表示式代入，并代入h和k0值，再引入自由电子质量m0，上式可以写为：TkE0g33/220pn3100expTmmm1033.2pn－383.2.4载流子浓度乘积1.电子和空穴浓度乘积与费米能级无关，也与掺杂无关，取决于不同材料的禁带宽度及其状态密度有效质量。2.在特定温度下，对于确定的半导体材料，热平衡下载流子浓度的乘积保持恒定。讨论393.3本征半导体的载流子浓度403.3.1本征半导体的电中性条件和费米能级的确定T=0K时，价带中的量子态完全填满，导带完全空着。本征激发条件下，电子和空穴成对出现，因此导带中电子的浓度n0应等于价带中空穴的浓度p0，即n0=p0T0K后，本征半导体的价带中的电子激发到导带，同时在价带中产生等量空穴。本征激发本征半导体的电中性条件413.3.1本征半导体的电中性条件和费米能级的确定由电中性条件可确定费米能级EF，TKEENTKEENVFVFcc00expexp－－由此式可以解出EF，并用Ei表示本征半导体的费米能级，则得：c0viln2121NNTEEEEVcFk＋＋＝把Nc和Nv的表示式：32/30nhm22TkNc32/30Phm22TkNV423.3.1本征半导体的电中性条件和费米能级的确定**0viln4321npCmmTkEEE＋＋＝代入得：**npmmEi在禁带中线之上Ei在禁带中线Ei在禁带中线之下**npmm**npmm对硅、锗和砷化镓有：0.7:GaAs66.0:Ge55.0:Si******npnpnpmm；mm；mm这三种半导体材料，EF约在禁带中线附近1.5kT的范围内。433.3.2本征载流子浓度TkENNVciipnpn0g1/2002exp－可算计出本征载流子浓度为:把费米能级表示式:c0viln2121NNTEEEVck＋＋＝代入电子或空穴浓度表达式：TKEENFcc00expn－TkEENVFV00expp443.3.2本征载流子浓度1.本征半导体的载流子浓度只与半导体本身能带结构及温度有关。温度一定时，禁带宽度越窄的半导体，本征载流子浓度越大。对给定的半导体，本征载流子随温度升高而迅速增大。2.载流子浓度的乘积可以写为：npni200即在一定温度下任何非简并半导体的热平衡载流子浓度的乘积等于该温度下本征载流子浓度的平方。说明：45TkEmmTknp0g34/3**2/30i2exph)()2(2n－:浓,,00度表达式得本征载流子并引入电子质量的数值和代入mkhTkTE0g3/23/420pn15ie