第三章 连续映射

第三章连续映射§3.1连续映射§3.2连续映射与邻域基,拓扑基§3.3连续性与闭集,闭包,内部重点：连续映射的定义与性质难点：同胚映射与同胚空间§3.1连续映射定义3.1.1设(1,TX)和),(2TY是两个拓扑空间,f:XY,如果对于每一个U∈2T,都有1()fU1T,换句话讲,如果Y中每一个开集U的原象1()fU是X中的一个开集,则称f是从拓扑空间(1,TX)到拓扑空间),(2TY的一个连续映射,或简称f是从X到Y的一个连续映射,或更简单地,映射f连续.在这里需要强调的是映射的连续不仅依赖于映射本身,而更重要的是依赖于它的定义域和值域上的拓扑,因为:fXY连续是相对于X和Y上给定的拓扑来说的.例3.1.1设R表示实数空间,Rl表示下极限拓扑空间.定义映射f:RRl,对x∈R,f(x)=x,则恒同映射f是不连续的,因为Rl中的开集U=[1,2)在f下的逆像1()fU[1,2)并不是实数空间R中的开集.但1f:RlR是连续的.这由定义3.1.1直接可得.定理3.1.1设(1,TX),),(2TY,),(3TZ都是拓扑空间,则(1)恒同映射:Xi(1,TX)),(1TX是一个连续映射.(2)如果:fXY,:gYZ都是连续映射,则:gfXZ也是连续映射.证明(1)如果U∈1T,我们有1()iUU∈1T，因此:XiXX是连续映射.(2)设:,fXYYZ都是连续映射,如果3TU,则21)((TUg,因此111)((TUgf,但1()()gfU11(())fgU,因此若U∈3T,必有1()()gfU∈1T.因此:gfXZ连续.定义3.1.2设X和Y是两个拓扑空间,如果:fXY是一个一一映射,并且f和1f:YX是连续的,则称f是一个同胚映射,或同胚.由于在同胚映射:fXY中,1f:YX是连续的,因此对X中的开集U,U在1f下的逆像是Y中的开集,即11()()()fUfU是Y中开集,因此同胚映射:fXY不仅给出了集合X与Y之间的一个一一映射,而且在X和Y的拓扑之间也建立了一个相应的一一映射.例如在例3.1.1中f:RRl:f(x)=x,不是同胚映射,因为f并不能在R中的通常拓扑和R中的下极限拓扑之间建立一一映射.但1:fRlR却是一个连续映射.定理3.1.2设X,Y,Z都是拓扑空间,则(1)恒同映射:XiXX是一个同胚(相对于同一拓扑);(2)如果:fXY是一个同胚,则1f:YX也是一个同胚.(3)如果:fXY,:gYZ都是同胚,则:gfXZ也是一个同胚.证明(1)在恒同映射:XiXX下,1(),XiUU因此相对于X上的同一拓扑而言,U是开集当且仅当1()XiU是开集,因此:XiXX相对于同一拓扑而言是同胚映射.(2)设:fXY是一个同胚.因此f是一个一一映射,而且1f和11()ff也都是连续映射,因此,1f也是一个同胚.(3)设:fXY,:gYZ都是同胚,因此f和g都是一一映射,并且f,1f1,gg都是连续的,因此gf是一个一一映射而且gf和11gf1()gf都是连续的,因此gf是一个同胚.定义3.1.3设X和Y是两个拓扑空间,如果存在一个同胚:fXY,则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的或称X与Y同胚,或称X同胚于Y.定理3.1.3设X,Y和Z都是拓扑空间,则(1)X与X同胚.(2)如果X和Y同胚,则Y与X同胚.(3)如果X与Y同胚,Y与Z同胚,则X与Z同胚.证明:这是定理3.1.2的直接结果习题§3.11.证明(1)从拓扑空间到平庸空间的任何映射是连续映射.(2)从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射.2.设),(),,(21TTXX是相对于同一基础集的两个拓扑空间,证明(1)恒同映射),(),(:21TTXXiX连续的充要条件中是T1比T2细.(2)恒同映射),(),(:21TTXXiX是同胚的充要条件是T1=T2.3.设X，Y是拓扑空间，:fXY是常值映射，即对任意0,()xXfxy，(0y是Y中一固定点),证明常值映射f是连续映射.§3.2连续映射与邻域基,拓扑基重点：连续映射的定义与性质难点：同胚映射与同胚空间定义3.2.1设X,Y是两个拓扑空间,:fXY,x∈X,如果对f(x)的每一个邻域U,即U∈)(xfU,U的原象1()fU是x的一个邻域,即1()fU∈xU,则称映射:fXY在x点连续.定理3.2.1设X,Y,Z是拓扑空间,则(1)恒同映射:XiXX在每一点连续.(2)如果:fXY在点x∈X连续,:gYZ在点()fxY处连续,则:gfXZ在点x处连续.证明:类似定理3.1.1的证明,读者自行完成.定理3.2.2设(1,TX)和),(2TY是两个拓扑空间,:fXY,则映射f连续当且仅当对于每一个x∈X,映射f在点x处连续.证明:必要性设映射:fXY连续,x∈X,U是f(x)的任意一个邻域,则存在开集V使得f(x)∈V,U于是11()(),xfVfU由于f连续,因此1()fV是X中的一个开集,从而1()fU是x的一个邻域.充分性,设每一点x∈X,映射:fXY在x点连续,则对于Y中的任意开集U,及x∈1()fU有f(x)∈f1(())fUU,从而U是f(x)的一个开邻域.由于f在点x连续,因此1()fU必是x的一个邻域,由x的任意性及定理2.2.1可知1()fU是X中的一个开集.以下定理是用拓扑基对连续的等价刻化.定理3.2.3设(1,TX)和),(2TY是两个拓扑空间,:fXY,则以下条件等价:(1)f连续.(2)存在个Y的一个拓扑子基S,对于每个U∈S,1()fU∈1T,即S中每个成员的原象是X中的开集.(3)存在Y的一个拓扑基B,对于每个U∈B,1()fU∈1T,即B中每个成员的逆象是X中的开集.证明(1)(2),2T就是Y的一个拓扑子基，由于f连续,因此对任意U∈2T,1()fU是X中的开集.(2)(3),因为S是拓扑空间Y的一个子基，B={12SS|niSSS,1,2,,,}innZ是拓扑2T的一个基，由于映射的逆关系保持交运算，而且有限个开集之交仍是开集，因此，B中每个成员的逆象是X中的开集(3)(1),因为B是Y的一个拓扑基,因此对任意U∈2T,必存在B1B使得VUV1B,于是:1()fU=)()(1111VfVfVVBB由于B中成员的逆象是X中开集,因此)(11VfVB是X中一族开集的并,因此)(11VfVB是X中开集,即1()fU是X中开集,从而f是连续的.§3.3连续性与闭集,闭包,内部定理3.3.1设(1,TX)和),(2TY是两个拓扑空间,:fXY,则以下条件等价(1)f是一个连续映射;(2)Y中任何一个闭集F的原像1()fF是X的一个闭集.即对112))((,TTFfF(3)对于X中任何一个子集A,A的闭包的象包含于A的象的闭包,即()().fAfA(4)对于Y中任何一个子集B,B的闭包的逆象包含B的逆象的闭包,即11()()fBfB证明:(1)(2),由于F是闭集,因此F是Y中开集.由f的连续性知1()fF是X中的一个开集,但1()fF=1f()YF=X－1()fF=1(())fF,因此1(())fF是X中开集,因此1()fF是X中的闭集.(2)(3)设AX,由于()(),fAfA而且A1(()),ffA因此A1(())ffA,因此A1(())ffA,由于()fA为Y中闭集,因此,1(())ffA为X中闭集,因此1(())ffA=1(())ffA,因此A1(())ffA,因此有()fAf1((()))ffA()fA.(3)(4)设BY,则1()fBX,由(3)得1(())ffB1(())ffB,由于1(())ffBB,因此有1(())ffBB,从而有1(())ffBB,因此11((()))fffB1()fB,又由于1()fB1(ff1(()))fB.因此1()fB1()fB.(4)(1)设U是Y中的一个开集,则U是Y中的一个闭集,因此有UU,应用(4)可得11(')()fUfU,因此有11()()fUfU.因此1()fU是X中的一个闭集.又11()(()),fUfU因此1(())fU是X中一个闭集.因此1()fU是X中的开集,因此f是连续映射.定理3.3.2设(1,TX)和),(2TY是两个拓扑空间,证明以下两个条件等价:(1)f连续(2)对Y中的任何一个子集B,B的内部的原象包含于B的原象的内部,即11()(())fBfB证明:留作习题由读者自行完成.习题§3.2、§3.31.设X，Y是两个拓扑空间，:fXY，0xX，证明f在点0x连续的充分必要条件是对于任意)(0xfUU,存在0x的开邻域V使得()fVU(可作为定理3.2.4).2.设X，Y是两个拓扑空间，:fXY是一个连续映射，AX，试问:①如果xA，是否一定有()()fxfA；②如果()()fxfA，是否一定有xA?3.设X，Y是两个拓扑空间,证明以下两个条件等价(1)f连续;(2)对Y中的任一子集B,11()(())fBfB.4.设X和Y是两个拓扑空间，映射:fXY满足条件，对于AX，(())()fAfA,(1)证明若f是一个满射，则f是连续映射;(2)举例说明当f不是满射时，f可以不是连续映射.