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第1章n阶行列式n阶行列式理论是线性代数中最基本的内容之一，它产生于线性方程组求解公式——克莱姆法则，又自成体系，形成了自己的核心内容：定义、性质、计算方法.本章重点要掌握行列式定义和计算方法——化三角形法.学习的困难之处在于行列式的定义的理解和展开性质的应用.第1节二、三阶行列式在中学，大家学习了线性方程组的加减消元法和代入消元法求方程组的解.例如，解二元线性方程组347,5611,xyxy就可以这样解：64,得761143654x，53,得751131137545633654y，现在的问题是：怎样记住解,xy的分子、分母呢？首先从,xy变形以后的分母看到：3654、、、就是方程组中,xy的系数，因此，我们能想到规定记号34=36-5456，这样，我们就有了一种新的方法：例如，2325-4310-12-245，-32-37-52-21-10-3157（）.其次，观察,xy的分子，我们看到x的分子7476-114=116是用常数项“取代”了分母中的x的系数；y的分子37113-75=511是用常数项“取代”了分母中的y的系数.显然，对于一般的二元一次方程组1112121222axaybaxayb的解，规定公分母为1112112212212122-aaaaaaaa（1.1）当1112112212212122-aaaaaaaa则成立如下求解公式1122221222121112112212212122babababaxaaaaaaaa，1112122111211112112212212122ababbabayaaaaaaaa.同样，我们也可以运用消元法求出三元一次方程组111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的解.其公分母为111213212223112233122331132132112332122133132231313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa（1.2）就可得到如下求解公式1121322223332331111213212223313233baabaabaaxaaaaaaaaa，1111321223313332111213212223313233abaabaabaxaaaaaaaaa，1112121222313233111213212223313233aabaabaabxaaaaaaaaa.我们已经看到了新的解法（1.1）式和（1.2）式中的记号的作用.我们分别把这种记号称为二阶行列式和三阶行列式.大家可能很想继续再解出四元、五元、、一次方程组的解的公分母而规定四阶、五阶、、行列式.那么，一方面，每次找公分母的工作量巨大；另一方面，由于我们的消元法每一步只能消去一个未知量——1元，对于一般的n元一次方程组，消元法就完成不了了.因为我们只有消去了1n个元后只剩下1元才能求解！我们不能消去1n个元！另外，我们规定的n阶行列式还必须满足如下要求：n个方程n元一次方程组的解的公分母就是n阶系数行列式，而每个未知量的分子就是用常数项“取代”分母中它的系数而得的n阶行列式！习题1.11.计算下列行列式（1）cossinsincosD；（2）231D；（3）124221342D－－－－；（4）1010411aDa.2.解线性方程组1212321221xxxx.第2节排列及其对换为了定义n阶行列式，我们先给出n级排列的概念.定义1.1由数字1,2,3,,n组成的有序数组123niiii称为一个n级排列，简称为排列.特别地，n级排列123n称为n级自然排列或标准排列.对于一个n级排列中的两个数字，以它们在标准排列中的位置次序为“标准”给出它们在这个排列中的“序关系”如下：定义1.2在一个n级排列12stniiiii中（st）的两个数字,stii，如果stii，则称它们构成一个逆序.排列123niiii中全部逆序的总个数称为排列的逆序数，记作123()nNiiii.例1.1求排列514362的逆序数.解该排列中，5后面有1432、、、，4个比5小；1后面有0个比1小；4后面有32、，2个比4小；3后面有2，1个比3小；6后面有2，1个比6小，这是全部构成逆序的数字，共有402118对，因此(514362)8N.一般地，求排列的逆序数的方法如下：对排列123niiii，数出每个数字ti后面比ti小的数字的个数,1,2,1tNtn.则123niiii的逆序数11231()nnttNiiiiN.定义1.3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.例如，1234的逆序数是偶数0，是偶排列，4123的逆序数是奇数3，是奇排列.定义1.4在排列1stniiii中，如果对调其中的两个数字si与ti的位置，其它数字的位置不变，得到一个新排列1tsniiii，称这样的变换为对换，记作(,)stii.对换过程记作(,)11stiistntsniiiiiiii.如果对调的两个数字的位置是相邻的，称这样的对换为相邻对换.例1.2将排列52134经对换变成标准排列12345.解(5,1)(5,3)(5,4)52134125341235412345.一般地，任何一个n级排列12niii都可经过一系列这种“归位”对换：第1位置数字与1对换，，再对新排列中的第2位置数字与2对换，、、、、、、逐步将数字k移到第k位置而变成标准的排列.关于对换与排列奇偶性之间的关系，有如下性质性质1.1一次对换改变排列的奇偶性.证设旧排列1sptijji经过一次对换(,)stii变成新排列1tpsijji（0p时表示相邻对换）.我们来考察两个排列中数字之间的序关系：仅si与ti之间和,stii分别与1,pjj的每一个之间的序关系发生了改变：共21p次.设其中有1q次是由逆序变成不是逆序了，有2q次是从不是逆序变成逆序了，1221qqp.因此，新排列的逆序比旧排列的逆序增加了21qq个（当21qq时是减少了12qq个）.而21211122()1qqqqqpq（12122222()1qqqqqpq）为奇数，故新旧两个排列的逆序数的奇偶性相反，从而对换改变了排列的奇偶性.习题1.21.计算下列排列的逆序数，并判断排列的奇偶性（1）32514；（2）31524；（3）135(21)246(2)nn；第3节n阶行列式的定义利用排列的理论，我们可以给出n阶行列式的定义如下：定义1.5由2n个数(1,2,,;1,2,,)ijainjn排成n行n列的如下记号111212122212nnnnnnaaaaaaaaa，称为n阶行列式（其中ija表示第i行第j列位置的数，称为第i行第j列元素），它表示所有取值不同行、不同列的n个数的乘积并按照如下方法带上正号或负号的代数和：每项乘积中的n个数按行号排成标准排列时，其列号排列的奇偶性决定该项的符号：奇排列时为负号，偶排列时为正号，即1212121112121222()1212(1)nnnnnNjjjjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaa，（1.3）其中求和12njjj取遍所有n级排列12njjj.而1212()12(1)nnNjjjjjnjaaa称为行列式的一般项.特别地，当1n时，规定一阶行列式1111aa.行列式有时也简记作ija，其值是一个数.当2,3n时，按照定义5计算的2,3阶行列式的值与前面规定的2,3阶行列式值（1.1）式和（1.2）式正好吻合一致.其实，n阶行列式的定义就是从分析2,3阶行列式的共同规律，由特殊到一般地推广得到的.根据n阶行列式的定义计算行列式将要计算!n项，4n时，4!24;5n时，5!120；如此多项的计算很麻烦的.但是，当这些项中很多都等于0，仅有少量的项不等于0，特别仅有1,2项不等于0时，我们只须把这些不等于0的项计算出来就可以了.由于行列式的一般项是取自不同行、不同列的n个数的乘积的代数和，故只有当这n个数都不等于0时，该项才可以不等于0.例1.3计算4阶行列式11121314222324333444aaaaaaaaaa（在行列式中，某些位置数字0不写更能反映其分布时，就不写）.解这个行列式按定义计算时第4行只能取44a，从而第3行只能取33a，进而第2行只能取22a，最后就知道第1行只能取11a，于是，这个行列式的不等于0的项只能是这4个数字的乘积，其前显然带正号，故原行列式11223344aaaa.行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线.主对角线下（上）方数字全为0的行列式称为上（下）三角形行列式，统称为三角形行列式.主对角线以外的数字全为0的行列式称为对角形行列式.仿上例可证：三角形行列式和对角形行列式的值都等于主对角线上的数字的乘积.行列式ija的一般项还可以写成如下形式12121122()()(1)nnnnNiiiNjjjijijijaaa，这是因为n个数1122,,,nnijijijaaa是取自不同行不同列的，从而12niii和12njjj分别是行号排列和列号排列.交换乘积1122nnijijijaaa中因子数字之间的次序，相当于对两个排列同时作相同位置上数字的对换，即对12niii作(,)stii对换时，就对12njjj作(,)stjj对换.这样，若经过T次对换，将12niii变成了标准排列12n，则这T次对换相应地把12njjj变成了排列12nkkk；根据性质1.1，于是有1212()()(1)(1)(1)nnNjjjNkkkT又由于12n为偶排列，则T的奇偶性与排列12niii的奇偶性相同，于是有12()(1)(1)nNiiiT，进而121212112212()()()12(1)(1)nnnnnnNiiiNjjjNkkkijijijkknkaaaaaa，就是行列式的一般项.于是，我们有如下行列式的等价定义定义1.5/定义1.5中的n阶行列式ija可定义为121212()12(1)nnnNiiiijiiiniiiaaaa.这是一个将各项乘积中的n个数按列号排成标准排列，其行号排列的奇偶性确定该项的符号的定义.于是，我们有了行列式的如下一种变形：把行列式的行与列互换，即把原来在第i行第j位置的元素换到第j行第i列上去，所得到的行列式称为原来行列式的转置行列式，记D的转置行列式为'D或TD.例如276134521D时，'215732641D，根据行列式的两个等价定义就知道，如下性质成立：性质1.2将行列式转置，行列式的值不变.因此，在行列式中行与列的地位相同，凡是对行成立的性质，对列也同样成立.习题1.31.写出四阶行列式44ijDa中含1342aa的项.2.计算下列行列式的值（1）12nD，（2）2011001020311132D，（3）1230210011230400D.第4节行列式的性质为了计算行列式的值，我们有必要先研究一下行列式变形成“好计算”的行列式，如前所述，三角形行列式就“好计算”.那么如何对行列式作变形？变形后行列式的值有什么变化呢？我们是要用行列式来表示方程组的解的，而方程组求解是用消元法，由于消元法前后方程组是“同解”的，但这时表示解的分子、分母行列式已经变形了，它们的比值却要“保持不变”——“同解”，因此，我们可以想到：变形前后的分子之间，分母之间一定是有某些共同的规律.消元法对方程组的变形，大致可以归结为如下三种：①换方程：对换方程组中两方程的位置；②倍方程：对某一方程两边同时乘以一个非零数；③倍方程加：对某一方程两边同时乘以一个数加到另一个方程上.我们把这三种变形称为方程组的初等变换.这时，分子、分母行列式也跟着发生如下三种变形：①换行：交换两行的位置；②倍