2019年广州市海珠区中考一模数学

2019年海珠区初中毕业生学业考试数学第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．3的相反数为（）A．3B．3C．31D．312．下列图形中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．把不等式组10630xx的解集表示在数轴上正确的是（）A．B．C．D．4．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DE=6，则BC=（）A．3B．6C．9D．125．在一次立定跳远的测试中，小娟等6位同学立定跳远的成绩分别为：1．8、2、2．2、1．7、2、1．9，那么关于这组数据的说法正确的是（）A．平均数是2B．中位数是2C．众数是2D．方差是26．若一个正多边形的一个外角是30°，则这个正多边形的边数是（）A．12B．11C．10D．97．如图，ABDE∥，62E，则BC等于（）A．138B．118C．38D．628．对于二次函数2241yxx，下列说法正确的是（）A．当0x，y随x的增大而增大B．当1x时，y有最大值3C．图象的顶点坐标为1,3D．图象与轴有一个交点9．已知圆锥的母线长是4cm，侧面积是12πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm10．将抛物线241yxx=-+向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线、直线3y=-和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A．5B．6C．7D．8第二部分非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）11．分解因式：224aab．12．计算：20199(1)2sin30=．13．已知命题：“如果两个角是直角，那么它们相等”，该命题的逆命题．．．．．．．是命题（填“真”或“假”）．14．已知一次函数图象经过第一、二、四象限，请写出一个．．符合条件的一次函数解析式．第7题图第10题图15如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PA=3OA，阴影部分的面积为6π，则⊙O的半径长为_____．16．如图把矩形ABCD翻折，使得点A与BC边上的点G重合，折痕为DE，连结AG交DE于点F，若EF=1，DG=6，则BE=．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分9分）解分式方程：1244xxx．18．（本小题满分9分）如图，在□ABCD中，BE、DF分别是∠ABC和∠CDA的平分线．求证：四边形BEDF是平行四边形．第15题图第16题图第18题图19．（本小题满分10分）先化简，再求值：22()()()3abababa，其中222ab，．20．（本小题满分10分）某校响应国家号召，鼓励学生积极参与体育锻炼．为了解学生一星期参与体育锻炼的时间情况，从全校2000名学生中，随机抽取50名学生进行调查，按参与体育锻炼的时间（单位：小时），将学生分成五类：A类02t，B类24t，C类46t，D类68t，E类8t．绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：（1）样本中E类学生有人，补全条形统计图；（2）估计全校的D类学生有人；（3）从该样本参与体育锻炼时间在04t的学生中任选人，求这人参与体育锻炼时间都在24t中的概率．21．（本小题满分10分）如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．（1）求∠BCD的度数；（2）求旗杆AC的高度．22．（本小题满分12分）如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB=15，EF=10，求AE的长．第21题图第22题图23．（本小题满分12分）如图，双曲线11kyx与直线22ykxb相交于A(1,2)m，B(41)m，，点P是x轴上一动点．（1）当12yy＞时，直接写出x的取值范围；（2）求双曲线11kyx与直线22ykxb的解析式；（3）当△PAB是等腰三角形时，求点P的坐标．第23题图24．（本小题满分14分）如图，二次函数2yaxc的图象经过点5(1,)4A和点(4,5)C，点0,5B（）（1）求二次函数2yaxc的解析式；（2）在图24－①中仅用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）在y轴上确定点P，使∠APO=∠BPC，直接写出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如图24－②，过点P的直线ykxb交二次函数2yaxc的图象于D11(,)xy，E22(,)xy，且120xx＜＜，过点D、E作x轴的垂线段，垂足分别是F、G，连接PF、PG，①求证：无论k为何值，总有∠FPO=∠PGO；②当PF+PG取最小值时，求点O到直线ykxb的距离．25．（本小题满分14分）已知点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=2，（1）点P是优弧AB上的一个动点，求∠APB的度数；（2）如图25－①，当tan21OAP∠时，求证:APOBPO∠；（3）如图25－②，当点P运动到优弧AB的中点时，点Q在PB上移动（点Q不与点P、B重合），若△QPA的面积为1S，△QPB的面积为2S，求12SS的取值范围．答案1~10：BDADC，ADBAB11．22aab12．113．假14．答案不唯一15．316．3317．解：124xx12+8=xx=9x……7分经检验：=9x是原方程的解……8分∴方程的解是=9x……9分18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠CDA，∠A=∠CAB=CD，AD=BC，AD//BC∵BE、DF分别是∠ABC和∠CDA的平分线∴∠ABE=12∠ABC，∠CDF=12∠CDA∴∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF∴AE=CF∴AD－AE=BC－CF即DE=BF∵AD//BC∴四边形BEDF是平行四边形……9分19．解：原式=2222223aabbaba=22aab……6分当222ab，时原式=2222222=88=16……10分20（1）5，图略……2分（2）720……4分（3）解：设A类两人为1A、2A，B类三人为1B、2B、3B，画出树状图（图略）由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中2人都是B类的有6种，即12,BB、13,BB、21,BB、23,BB、31,BB、32,BBP(2人参与体育锻炼时间都在24t)632010……10分21．解：（1）过点C作CE≌BD于E，则DF//CE，AB//CE∵DF//CE∴∠ECD=∠CDF=30°同理∠ECB=∠ABC=45°∴∠BCD=∠ECD+∠ECB=75°……5分（2）在Rt≌ECD中，∠ECD=30°∵tanDEECDCE∴3tan3DECEECDCE同理BECE∵BDBEDE∴3203CECE60103333CE答：∠BCD为75°，CE为1033米．……12分22．(1)证明：连接OE∵∠B的平分线BE交AC于D∴∠CBE=∠ABE∵EF∥AC∴∠CAE=∠FEA∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE∴∠FEA=∠OEB∵∠AEB=90°∴∠FEO=90°∴EF是≌O切线……6分(2)解：∵AF•FB=EF•EF∴AF×(AF+15)=10×10∴AF=5∴FB=20∵∠F=∠F，∠FEA=∠FBE∴≌FEA≌≌FBE∴EF=10∵AE2+BE2=15×15∴AE=35……12分23．解：（1）01x或4x……2分（2）由题意可得111241mkmk解得124mk∴1,4A，4,1B∴22441kbkb解得251bk∴双曲线4yx，直线5yx……7分（3）设点P(,0)a，则22214PAa，218AB，22241PBa①当PAPB时，2214a=2241a解得0a∴1(0,0)P②当PAAB时，2214a=18解得121a，221a∴2(21,0)P，3(21,0)P③当PBAB时，2241a=18解得3174a，4174a∴4(174,0)P，5(174,0)P综上述，1(0,0)P，2(21,0)P，3(21,0)P，4(174,0)P，5(174,0)P……12分24．解：（1）将点5(1,)4A和点(4,5)C代入二次函数2yaxc54165acac解得：141ac二次函数的解析式为2114yx……3分（2）如图，点P即为所求．点P坐标为（0,2）……3分（3）①证明：将点P（0,2）代入直线ykxb，得2b联立21142yxykx，化简得：2440xkx，2221xkk∵120xx＜＜∴21221xkk，222+21xkk∴OF=21--2+21xkk，OG=222+21xkk∴4OFOG=2OP∴OFOPOPOG，即≌FOP≌≌POG∴∠FPO=∠PGO……10分②∵124xxk，124xx∴22222221122242444PFPGPFPFPGPGxxxx=2221212121212()282()4()816xxxxxxxxxx=221616161kk不妨令21tk，1t∴PF+PG=42211()24ttt∴当0k时，1t，此时PF+PG取最小值42∴点O到直线ykxb的距离即OP=2……14分25．解：（1）∵∠AOB=90°∴∠APB=12∠AOB=45°……2分（2）过点O作OC≌PA于C，在CA上截取CD=OC∵tan21OAP∠∴21OCACAC=(21)OC又∵CD=OC∴AD=AC－CD=2OC∵∠OCD=90°，OC=CD∴OD=2OC，∠CDO=45°∴AD=OD∴∠A=∠DOA又∵∠A+∠DOA=∠CDO∴∠A=22．5°∵OP=OA∴∠APO=∠A=22．5°又∵∠AOB=45°∴∠BPO=∠AOB－∠APO=22．5°∴∠APO=∠BPO……8分（3）连接AB，连接PO并延长交AB于E，则PE≌AB，把≌PBQ沿着PQ翻折得△P'BQ，则P'B=PB=PA，∠PQB=∠PQ'B∵∠AQP=∠ABP，∠ABP=∠PAB∴∠AQP=∠PAB∵四边形PABQ内接于≌O∴∠PAB+∠PQB=180°∴∠AQP+∠PQ'B=180°∴点A、Q、'B三点共线∵12+QPAQBPPABSSSSS△△△∴120SS＞当且仅当PA≌P'B时，12SS有最大值22PA，在Rt≌PAE中，AE=1，PE=2+1∴2=2+22PA∴0＜12SS≤2+2……14分