广义相对论课堂11动力学方程4维形式

广义相对论课堂11动力学方程4维形式2012.10.23总结•相对论性动力学方程=》质能关系•矢量定义为一个几何中的位移矢量•标量积定义=算法•基矢量定义——与坐标关系Lorentz系中标量积计算公式dxdxds)(ba2dxdxeeba闵氏度规g基矢量与坐标关系？坐标增长方向单位长度edxdx基矢量定义—习题—也是矢量方法二：坐标基矢量）任意，方法一：（（或无穷小）—定义之第一部分—）表达，—线元以坐标（—对比定义之第二部分表达点积以坐标基矢量一组坐标基——）位移矢量，（}{xtxt-sxtxxtxttaaaa}{},{},{}{xaxt)a,a()a,a(2222xx2xtxt002i0xtti0eaaaeeeeeeeeeeeeaaeeeeeeeea几何体——三位一体MTW时空图——形象图像坐标分量抽象概念Cartanacomponentcoordinatenotionabstracta运动学类时世界线类光世界线类时世界线——慢子？自由度类时固有时—某个参数—相对论四维描述，）（如匀加速给定世界线由三个函数坐标网格钟尺网格、牛顿1)(x0zyatt)(xt)(xxt1/22-2ii四速度重点新概念！定义、特性类时单位矢量！）习题速度相加非线性！（——1dsdd3-1Lightman)0,1(MCIF)V,(dudtd标导数22ddxdxdxuudxvdxu意义共动系时间轴基矢量似切线是曲线一级线性近极限下长）增长方向世界线固有时（曲线弧—对比三欧——曲线—单位切矢量！仅数学速度非类时单位矢量！dudxuxVV31dsdd)0,1(MCIF)V,(du22ddxdxdxuu对比三维欧式空间速度矢量•相似：切矢量•不同：单位长度对比时间“矢量”•MinkowskiFlatSpacetimeGeometry——回忆朗诵Minkowski掷地有声的宣言！•LorentzTransformation如何理解四维矢量1：类时——回忆固有量表格•四维矢量vs三维矢量——3+1分解–t轴基矢量四加速度重点新概念！定义、特性固有加速度，比较牛顿加速度类比——NewtonNewton2Newton42Newton62Newton2Newton4Newton4aa~)a0(MCIFa~a)Va(a~]aV)Va(),Va([a~dtVda)(dd标导数uua正交条！矢量优点第，30)a0(MCIF]aV)Va(),Va([a~)0,1(MCIF)V,(duNewtonNewton2Newton4Newton4audx0au如何理解四维矢量2：类空同时线上)e,0(xxe•四维矢量vs三维矢量——3+1分解–例：x轴基矢量7.9节、20.2节类空面、类时面动力学求解例题•匀加速直线运动•Hartle例题5.3•习题5.6•四维求解法MTW理解物理意义与上次课推导的固有加速度比较Newton2NewtonNewton32Newton62Newton2242NewtonNewton2Newton42Newton62Newton2Newton4Newton4a0Va;a,aa)1V(a~VaVaa)Va(a~]aV)Va(),Va([a~)V,(u~,dx~du~,du~da~固有加速度大小为时，只有横向加速度固有加速度大小为时，只有纵向加速度习题５.４固有加速度与四加速度一致？•垂直于四速度•大小一致•方向旋转?–——需要四维思维！Why?aaa~!boostLorentz)a,0(a~]a,Va[a~a~a~a~]aV)Va(),Va([a~∥Newton3∥Newton4∥Newton2∥Newton4∥Newton4∥∥Newton2Newton4Newton4，纵向固有加速度空间部分横向固有加速度，无x'txt'a这提示四维形式可统一纵向和横向四维成立，并满足对应原理，则总成立4维的好处•充分利用相对性原理——Lorentz不变性——例：辐射功率•形式统一纵向和横向如何理解四维矢量之二分量boost变换)aa,0(MCIFa~)a,0(]a,0[MCIFboostLorentz]a,Va[a~Newton2∥Newton3proper∥Newton3∥Newton4∥Newton4∥到共动系，顺逆实验室系dtVdmamdtVdmam2∥3∥对应原理——质量、动量、力四加速度点积投影到共动系空间轴纵向和横向•作为习题？四动量定义、特性—习题—力例子：动力学方程仅仅变迁为—测量公式—不是！是四矢量的空间分量，自分量量纲不同，只是时空各标量乘以矢量LorentzVp)Vm,mc()pE,(m2up动力学方程引入四力——人造！—能动量地位—牛顿矢量力学分析力学：达式？—改造了电场和磁场表——习题—力例子：力！入形式完全同于牛顿！引？标导数量和动量表达式动力学方程仅仅变迁能vsPlanck05Einstein19Lorentz4)f,(ddpf完全类似3维牛顿方程：定义了4力]a,Va[a~a~a~a~]aV)Va(),Va([a~amf)dtpd,dtdE(dd)f,f(∥Newton4∥Newton4∥∥Newton2Newton4Newton4tpf标导数FFFdtVdmamFdtVdmamF∥2∥3∥∥固有力3力——》4力新增物理自由度？?ddEft功率（以固有时计算）个自由度仍然方程！并没有给出新的动力学！形式仍然完全类似牛顿3VFdtdEVFfFVf0)1(dd)dtpd,dtdE()f,f(ddtttfuuupf3维——4维没有新东西！4维并不是必须的时空图并不是必须的VFdtdEFdtpd，另一形式：Weinberg2.3节固有力F：第1段和(2.3.2)式前一行Why?aaa~!boostLorentz)a,0(a~]a,Va[a~a~a~a~]aV)Va(),Va([a~∥Newton3∥Newton4∥Newton2∥Newton4∥Newton4∥∥Newton2Newton4Newton4，纵向固有加速度空间部分横向固有加速度，无x'txt'a形式不变，内容有变！•牛顿——》相对论哪几个量没变？哪几个量变了？怎么变的？VFdtdEFdtpd，2.5没变；2.5变了！——表格—能动量地位—牛顿矢量力学分析力学：选择！逻辑、、vsPlanck05Einstein19FtVEP动力学方程变革表能量E动量P纵向力横向力相对论牛顿不同静能动能运动质量选择动量=运动质量×速度改变力=动量变化率not质量×加速度纵向和横向不能同样定义例子：电磁学Lorentz力、例题5.6观者的四维表达惯性加速怎么区别不同的惯性观者（系）？哪一个物理量？几个自由度？怎么区别不同的惯性观者（系）？•牛一、二律——》运动态《—》V速度矢量——大小+三维方向•四维表达《—》四速度矢量u=(γ,γV)惯性观者——三位一体dxdxds2ee•观者（系）——术语•物理实体——钟尺（网格）•时空几何（图）——正交（坐标网格）•斜交(t',x)或(t,x')加速系a整体钟尺速度常数直线加速相同大小常数、方向向心圆周加速（转盘系）不同半径、不同角度处加速观者vs惯性观者只适用？都成立？类似于测试粒子与区别)V,(uVvvdx)-dt(tdx)v-t(tvx)-t(tobs加速观者vs惯性观者无穷小vs有限长瞬时极限vs刚性尺或同步钟或固有时、加速度物理术语数学加速观者惯性观者重要结果！•局域时空=瞬时——加速惯性观者等效•等效not全同——极限到一点（事件）完全相等；否则数学上偏离线性、物理上三大效应等——实验精度•例：球面局域等效于平面投影——》分量点积基矢量}{e点积投影=提取分量有效——完备正交基四动量展开和提取分量iij00ii0p-EpE)pE,()Vm,m(mepeepeeeup点积：用点积：用这是纯数学：矢量空间、线性空间新:时间基矢量点积补负号物理上观者“测量”到的能量和动量0iii0ii0-p-EepepVVeuepep