第2章布尔开关代数(2)第3章组合逻辑原理(1)

数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理上一次课内容复习：一．二进制逻辑函数和符号二．开关代数的性质和定理三．功能完全操作集四．用布尔代数简化布尔方程数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理运算符：“()”，“*”，“·”，或空S=xys=x·ys=x*ys=(x)(y)两个输入变量的真值表XYSS=X·YXYZSS=X·Y·ZXYWZSS=W·X·Y·Z（1）与（AND）与运算的逻辑符号InputOutputxyz000010100111S复习一：二进制逻辑函数和符号数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理运算符：“+”s=x+y两个输入变量的真值表（2）或（OR）或运算的逻辑符号InputOutputxyz000011101111SXYSS=X+YXYZSS=X+Y+ZXYWZSS=W+X+Y+Z数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理运算符：“¯¯”，“’”（3）非（NOT）非运算的逻辑符号真值表x=x，x=x’InputOutputxs0110X’XX′X′X数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理XYSS=(XY)ors=XYYXSS=(XY)ors=XYInputOutputxyS001011101110（4）与非NAND(notand)s=(xy)’;s=xy数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理（5）或非NOR（notor）s=(x+y)’；s=x+yInputOutputxyS001010100110XYSS=(X+Y)ors=X+YYXSS=(X+Y)ors=X+Y数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理（6）异或EX-OR（exclusiveor）s=x⊕y；s=xy’+x’yInputOutputxyS000011101110YXSS=X⊕Y数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理（7）异或非EX-NOR（exclusivenotor）s=x⊕y；s=x☉y；s=x’y’+xyYXSS=X☉YInputOutputxyS001010100111数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理XYZXX׳&XXYZ+X׳Z=XYZ=X+YXYZ1各种门IEEE逻辑符号数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理XYZ&XYZ+XYZ=1XYZ=1Z=X⊕YZ=X☉YXYZ⊕Z=X+YZ=XY各种门IEEE逻辑符号数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理开关代数的性质（1）交换律：X+Y=Y+XX·Y=Y·X（2）结合律：(X+Y)+Z=X+(Y+Z)(X·Y)·Z=X·(Y·Z)（3）分配律：X·(Y+Z)=X·Y+X·ZX+(Y·Z)=(X+Y)·(X+Z)（4）0-1律：X+0=XX·1=XX+1=1X·0=0（5）互补律：X·X’=0X+X’=1复习二：开关代数的性质和定理数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理开关代数的其它性质和定理（1）二进制变量和常数0+0=01+0=10+1=11+1=10·0=01·0=00·1=01·1=1（2）等幂律：X+X=XX·X=X（3）吸收律：X+X·Y=XX·(X+Y)=XX+X’·Y=X+YX·(X’+Y)=X·Y（4）德·摩根定理：X+Y=X·YX·Y=X+Y（5）邻接律：X·Y+X·Y’=X(X+Y)·(X+Y’)=X数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理德·摩根定理：(X+Y)’=X’·Y’互补律：如果满足A·B’=0和A+B’=1，则A=B。证明：∵(X’·Y’)+(X+Y)=(X’·Y’+X)+Y(结合)=(Y+X)+Y(吸收)=X+(Y+Y)(结合)=X+1=1∵(X’·Y’)·(X+Y)=X’·Y’·X+X’·Y’·Y=0+0=0∴(X+Y)’=X’·Y’(利用互补律的结论)数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理功能完全操作集（完备运算集）：是一组逻辑函数集，它能实现所有的组合逻辑表达式。二进制逻辑函数的功能完全操作集有四类：（1）FC1＝{与、或、非}（2）FC2＝{或非}（3）FC3＝{与非}（4）FC4＝{异或、与}复习三：功能完全操作集数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理原因：减少数字逻辑门电路的开销。方法：利用开关代数的性质和定理，进行化简。布尔方程（逻辑表达式）有2种形式：一种是And-Or表达式（积之和）形式；另一种是Or-And表达式（和之积）形式。复习四：用布尔代数简化布尔方程数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理2.5开关函数的实现●开关函数的三种表达方式：开关方程、真值表、逻辑图●实现组合逻辑功能的5个步骤①问题描述②构造真值表③求出开关方程（逻辑表达式）④用逻辑符号画出逻辑图⑤绘制印制板电路数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理2.5.l开关方程到逻辑图的转换转换方法：用二进制通用逻辑符号替换开关方程的每一项，即可得到开关方程的逻辑图。aa’ba’ba’b+ab’ab’b’例2-12：T=a’b+ab’数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理对于多个输出的开关方程，在转换成逻辑图时，相同的项可以共享。例2-13：F1=x’y’z+x’yz’F2=x’yz’+xy’XYSS=X·YXYZSS=X·Y·ZXYWZSS=W·X·Y·Z’’XYSS=X·YXYZSS=X·Y·ZXYWZSS=W·X·Y·Z’’XYSS=X+YXYZSS=X+Y+ZXYWZSS=W+X+Y+ZF1XYSS=X·YXYZSS=X·Y·ZXYWZSS=W·X·Y·Z’’XYSS=X·YXYZSS=X·Y·ZXYWZSS=W·X·Y·Z’XYSS=X+YXYZSS=X+Y+ZXYWZSS=W+X+Y+ZF2XYSS=X·YXYZSS=X·Y·ZXYWZSS=W·X·Y·Z’’XYSS=X·YXYZSS=X·Y·ZXYWZSS=W·X·Y·Z’’XYSS=X·YXYZSS=X·Y·ZXYWZSS=W·X·Y·Z’XYSS=X+YXYZSS=X+Y+ZXYWZSS=W+X+Y+ZF1XYSS=X+YXYZSS=X+Y+ZXYWZSS=W+X+Y+ZF2数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理2.5.2逻辑图的转换为开关方程转换方法：与开关方程到逻辑图的转换方法相反，即根据逻辑图，从输入端开始，逐级写出各个门电路的输出表达式，最后就得到逻辑图对应的开关方程。例2-13：函数F1XYSS=X·YXYZSS=X·Y·ZXYWZSS=W·X·Y·Z’’XYSS=X·YXYZSS=X·Y·ZXYWZSS=W·X·Y·Z’’XYSS=X+YXYZSS=X+Y+ZXYWZSS=W+X+Y+ZF1x’y’zx’yz’=x’y’z+x’yz’数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理主要内容：组合逻辑的定义；真值表的确定；从真值表生成开关方程；卡诺图及其化简；映射变量卡诺图；混合逻辑组合电路；多输出函数。3.l组合逻辑的定义定义：如果逻辑电路中没有从输出到输入的反馈，且由功能完全的门电路构成，就称为组合逻辑电路。输入X输出Y··组合逻辑函数F··第3章组合逻辑原理Y=F(X)数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理3.1.1真值表问题的提出例3-1：数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理例3-2：数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理例3-4：数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理将实际问题描述转换成真值表的过程：①确定所包含的输入、输出变量；②为每个变量分配变量名；③确定真值表的大小：2x＝y；④构造一个包含所有输入变量组合的真值表；⑤确定使给定输出为真的输入组合。数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理例：设计一个组合逻辑的真值表，当3个输入中的多数为真时输出为真。I3I2I1000001010011100101110111第一步：3个输入，1个输出第二步：I1、I2、I3，O1第三步：23=800010111O1第四步：第五步：数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理3.1.2导出开关方程1.术语与定义乘积项：一个或几个布尔变量的逻辑乘积（与）。例：X、XY、X’YZ。和项：一个或几个布尔变量的逻辑或。例：X、X+Y、X’+Y+Z。积之和：几个乘积项的逻辑或。例：X+XY+X’YZ。和之积：几个或项的逻辑与。例：(X+Y)(X’+Y+Z)。数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理最小项：是组成一个布尔表达式的包含所有输入变量（每个变量出现一次）的乘积项，是特殊情况下的乘积（与）项。例：X、Y、Z的X’YZ最大项：是组成一个布尔表达式的包含所有输入变量（每个变量出现一次）的和项，是特殊情况下的和（或）项。例：X、Y、Z的X’+Y+Z数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理2.标准积之和一个标准积之和是当输出变量为逻辑1（真）时定义的最小项的完整系列。例3-1：输出变量M的标准积之和为：M=a’bms+ab’ms+abms数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理3.标准和之积一个标准和之积是当输出变量为逻辑0（假）时定义的最大项的完整系列。同例：在例3-1题中，输出变量M的标准和之积为：M=(a+b+m+s)(a+b+m+s’)(a+b+m’+s)(a+b+m’+s’)(a+b’+m+s)(a+b’+m+s’)(a+b’+m’+s)(a’+b+m+s)(a’+b+m+s’)(a’+b+m’+s)(a’+b’+m+s)(a’+b’+m+s’)(a’+b’+m’+s)数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理4.最小项和最大项的互补特性mi＝Mi’，即最小项（小写表示）和最大项（大写表示）互补。数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理3.2标准形式标准形式：任何布尔函数（开关方程）都可以用唯一的标准积（最小项）之和或者标准和（最大项）之积来表示。1.将SOP（SumofProducts）方程转换成标准形式转换方法：（1）确定每个“与”项中缺少的变量；（2）若某个“与”项缺少变量x，则将该项和(x+x’)相“与”，并用分配律展开；（3）去掉整个表达式中重复的最小项。数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理例：f1(a,b,c)=a’b’c+bc’+ac’=a’b’c+(a+a’)bc’+a(b+b’)c’=a’b’c+abc’+a’bc’+abc’+ab’c’=a’b’c+abc’+a’bc+ab’c’例3-5a：P=f(a,b,c)=ab’+ac’+bc=ab’(c+c’)+ac’(b+b’)+bc(a+a’)=ab’c+ab’c’+abc’+ab’c’+abc+a’bc=ab’c+ab’c’+abc’+abc+a’bc数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理2.将POS（ProductofSums）方程转换成标准形式转换方法：（1）确定每个“或”项中缺少的变量；（2）若某个“或”项缺少变量x，则将该项和(xx’)相“或”，并用分配律展开；（3）去掉整个表达式中重复的最大项。例：f1(a,b,c)=(a+b+c)•(b’+c’)•(a’+c’)=(a+b+c)•(aa’+b’+c’)•(a’+bb’+c’)=(a+b+c)•(a+b’+c’)•(a’+b’+c’)•(a’+b+c’)•(a’+b’+c’)=(a+b+c)•(a+b’+c’)•(a’+b’+c’)•(a’+b+c’)数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理例3-5c：T=f(a,b,c)=(a+b’)(b’+c)=(a+b’+cc’)(b’+c+aa’)=(a+b’+c)(a+b’+c’)(a+b’+c)(a’+b’+c)=(a+b’+c)(a+b’+c’)(a’+b’+c)数字逻辑：第二章布尔开关代数~第三章组合逻辑原理3.3从真值表生成开关方程1.将真值表转换成标准形式的开关方程转换