25正弦定理、余弦定理应用举例

正弦定理、余弦定理应用举例要点梳理1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a,B,C)两边和夹角(如a,C,b)三边(a,b,c)两边和其中一边的对角(a,b,A)正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理余弦定理正弦定理由A+B+C=180˚,求角A,再用正弦定理求出b与c.用余弦定理求出角A,B,再由A+B+C=180˚求出角C.由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．由正弦定理求出角B;由A＋B＋C＝180°,求出角C;再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解,一解或无解测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型(1)仰角和俯角：3．实际问题中的常用角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角．要点梳理指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫方向角.(2)方向角目标方向线方向一般可用“×偏×”多少度来表示,这里第一个“×”号是“北”或“南”字,第二个“×”号是“东”字或“西”字.OA的方向角为＿＿＿＿＿＿；OB的方向角为＿＿＿＿＿＿；OC的方向角为＿＿＿＿＿＿；OD的方向角为＿＿＿＿＿＿.北偏东60°北偏西30°西南方向南偏东20°要点梳理(4)水平距离、垂直距离、坡面距离(3)方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α．如图BC代表水平距离,AC代表垂直距离,AB代表坡面距离.ABC要点梳理14i即.如图把坡面的铅直高度h和水平宽度为l的比叫做坡度(或叫做坡比),用字母i表示,坡度一般写成h:l的形式.如i=1:4,(5)坡度、坡角：坡面与水平面所成的二面角α的度数叫做坡角,坡角与坡度之间有如下关系：tan.hilhil即.hlhil要点梳理题型一测量距离问题【例1】(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解:由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ABD中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．解:由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ABD中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．解:由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ABD中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．解:由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ABD中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．解:由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ABD中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．解:由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ABD中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．解:由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ABD中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°,BC＝203(海里)，在△DBC中,CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°,BC＝203(海里)，在△DBC中,CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°,BC＝203(海里)，在△DBC中,CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°,BC＝203(海里)，在△DBC中,CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°,BC＝203(海里)，在△DBC中,CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°,BC＝203(海里)，在△DBC中,CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°,BC＝203(海里)，在△DBC中,CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．变式训练1要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．解:在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A、B之间的距离为5km.解:在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A、B之间的距离为5km.解:在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A、B之间的距离为5km.解:在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A、B之间的距离为5km.AB2＝(3)2＋262()2－2×3×622×cos75°解:在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A、B之间的距离为5km.在△BCD中,∠BCD＝45°,∠BDC＝75°,∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△BCD中,∠BCD＝45°,∠BDC＝75°,∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.解:在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A、B之间的距离为5km.题型二【例2】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．测量高度问题解:如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进,CD＝40,此时∠DBF＝4