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-1-第一章坐标系-2-§1平面直角坐标系-3-1.1平面直角坐标系与曲线方程-4-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.通过回顾平面直角坐标系,体会借助坐标系研究曲线和方程的关系.2.了解曲线和方程的对应关系,了解两条曲线交点的求法.3.能利用已知条件求出曲线方程.-5-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.平面直角坐标系(1)在平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系,如图所示.在平面直角坐标系中,有序实数对与坐标平面内的点具有一一对应关系,如图,有序实数对(x,y)与点P相对应,这时(x,y)称作点P的坐标,并记为P(x,y),其中,x称为点P的横坐标,y称为点P的纵坐标.(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借助坐标系,研究曲线与方程间的关系.-6-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12名师点拨1.在平面上建立直角坐标系后,平面上的点与全体有序实数对之间建立了一一对应关系,即在给定坐标系的情况下,平面上的任意一点唯一地确定一个有序实数对;反之,任意给定一个有序实数对,它也唯一地确定平面上的一个点.2.两点间的距离公式:在平面直角坐标系内,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离公式为|P1P2|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2.3.中点坐标公式:在平面直角坐标系内,若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的中点为M(x,y),则x=𝑥1+𝑥22,y=𝑦1+𝑦22.-7-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-1】点P(1,-2)关于点A(-1,1)的对称点P'的直角坐标为().A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)解析:设点P'的坐标为(x,y),则有1+𝑥2=-1,-2+𝑦2=1,∴𝑥=-3,𝑦=4,即点P'为(-3,4).答案:B-8-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-2】已知点P(-1+2m,-3-m)在第三象限,则m的取值范围是.解析:因为第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0,所以-1+2𝑚0,-3-𝑚0,即𝑚12,𝑚-3.所以-3m12.答案:-3m12-9-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.曲线与方程在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解;(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线.名师点拨求曲线方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)};(3)用坐标表示条件P(M),写出方程f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤(5)可以省略.-10-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2】已知B,C是两个定点,|BC|=6,且△ABC的周长为16,顶点A的轨迹方程是().A.𝑥216+𝑦225=1(y≠0)B.𝑥225+𝑦216=1(y≠0)C.𝑥29+𝑦225=1(x≠0)D.𝑥225+𝑦216=1(x≠0)解析:因为△ABC的周长为16,|BC|=6,所以|AB|+|AC|=10.以BC所在的直线为x轴,过BC的中点作BC的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-3,0),C(3,0).-11-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12设A(x,y)(y≠0),则(𝑥+3)2+𝑦2+(𝑥-3)2+𝑦2=10(y≠0),化简得顶点A的轨迹方程是𝑥225+𝑦216=1(y≠0).若以BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,同理可得顶点A的轨迹方程是𝑥216+𝑦225=1(x≠0).结合选项知只有B满足.答案:B-12-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.建立直角坐标系的作用剖析:坐标系是现代数学中的重要内容,它在数学发展的历史上,起着划时代的作用.坐标系的创建,在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系,我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置,也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述,几何图形可以通过代数形式来表达,这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来,又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.2.建立适当坐标系的方法剖析:(1)当题设中有中点、中垂线、角平分线等特定点或线时,常将它们选来作直角坐标系的原点或轴,这样建系可使点的坐标或曲线的方程简单、易求或便于化简、运算.(2)一般原则是,首选使轨迹对称的坐标系;其次选轨迹中的直角所在直线作为坐标轴;再次可以让轨迹过坐标原点.-13-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一利用坐标系解决代数问题【例1】如果实数x,y满足x2+y2-4x+1=0.求:(1)𝑦𝑥的最大值;(2)y-x的最小值.分析:x2+y2-4x+1=0表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.𝑦𝑥为点P(x,y)与原点连线的斜率;设y-x=b,则y=x+b,b可以是斜率为1的直线在y轴上的截距.-14-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:(1)设𝑦𝑥=k,得y=kx,所以k为过原点的直线的斜率,又x2+y2-4x+1=0表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆,如图所示.当直线y=kx与已知圆相切,且切点在第一象限时,k最大,此时,|CP|=3,|OC|=2,则在Rt△POC中,∠POC=60°,k=tan60°=3.故𝑦𝑥的最大值为3.(2)设y-x=b,即为直线y=x+b,b为直线在y轴上的截距,如图所示.当直线y=x+b与圆有公共点时,当且仅当直线与圆相切,且切点在第四象限时,b最小.此时,圆心(2,0)到直线的距离为3,即|2+𝑏|12+12=3.解得b=-6-2或b=6-2(舍).故y-x的最小值为-6-2.-15-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反思选择合适的平面直角坐标系,把代数问题转化为平面几何问题,用坐标法加以解决.-16-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】求函数y=𝑥2+1+𝑥2-4𝑥+8的最小值.解:∵y=𝑥2+1+𝑥2-4𝑥+8=(𝑥-0)2+(0-1)2+(𝑥-2)2+(0-2)2,设A(0,1),B(2,2),P(x,0),则问题转化为在x轴上求一点P(x,0),使|AP|+|PB|取得最小值.∵A(0,1)关于x轴的对称点为A'(0,-1),∴(|AP|+|PB|)min=|A'B|=(2-0)2+(2+1)2=13.∴函数y=𝑥2+1+𝑥2-4𝑥+8的最小值为13.-17-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二利用坐标系解决几何问题【例2】已知等边三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.分析:此题是平面几何最值问题,用平面几何法不易解决,考虑用坐标法来解决.解:以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A0,32𝑎,B-𝑎2,0,C𝑎2,0.-18-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2=x2+𝑦-32𝑎2+𝑥+𝑎22+y2+𝑥-𝑎22+y2=3x2+3y2-3ay+5𝑎24=3x2+3𝑦-36𝑎2+a2≥a2,当且仅当x=0,y=36a时,等号成立.故所求的最小值为a2,此时点P的坐标为P0,36𝑎,它是等边△ABC的中心.反思1.建立适当的平面直角坐标系是关键,可使计算过程简单一些.2.配方法是求最值的重要方法,应掌握好.-19-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】已知:在△ABC中,AO是BC边上的中线.求证:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).证明:取线段BC所在的直线为x轴,点O为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,设点A的坐标为(b,c),点C的坐标为(a,0),则点B的坐标为(-a,0).可得|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+c2,|AO|2=b2+c2,|OC|2=a2.∴|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AO|2+|OC|2=a2+b2+c2.∴|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).-20-1.1平面直角坐标系与曲线方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随