1.1.1 集合的含义与表示

第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示1.1集合【学习目标】1．了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3．掌握集合的表示方法、常用数集及其记法和集合元素的三个特征．1．集合的三要素(1)含义：一般地，我们把研究对象统称为______，把一些元素组成的________叫做集合．元素总体(2)集合中元素的特征：_________、_________和________．确定性无序性互异性关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果____________中的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果____________中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A练习1：已知集合A＝{1,3,5,7,9}，则3____A，6____A.∈∉a是集合A2．元素与集合的关系a不是集合A列举法把集合的元素__________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法描述法用集合所含元素的__________表示集合的方法3．集合的表示方法一一列举共同特征)A练习2：集合{x∈N|x＜5}的另一种表示方法是(A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号4．常用数集及其表示符号N*或N+ZRNQ【问题探究】1．“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？答案：“好心的人”不能构成集合；“1,2,1”不能构成集合．2．集合{1,2}，{(1,2)}，{(2,1)}，{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？答案：集合{1,2}，{2,1}的元素是数字1和2；集合{(1,2)}的元素是点(1,2)；集合{(2,1)}的元素是点(2,1)．集合{1,2}和集合{2,1}相同．集合{(1,2)}和集合{(2,1)}不一样．3．以下三个集合有什么区别？(1){(x，y)|y＝x2－1}；(2){y|y＝x2－1}；(3){x|y＝x2－1}．答案：集合{(x，y)|y＝x2－1}的元素是点(x，y)；集合{y|y＝x2－1}的元素是实数y的取值范围；集合{x|y＝x2－1}的元素是实数x的取值范围．题型1集合的概念和有关特征【例1】判断以下对象的全体能否组成集合：(1)申办2014年亚运会的所有城市；(2)举办2014年亚运会的城市；(3)某校高一(1)班的高个子学生；(4)方程x2－4＝0在实数范围内的解；(5)1,2,3,1.解：因为“高个子”中关于高的标准不明确，故(3)不能构成集合；(5)中的对象虽然具备确定性，但是有两个元素1相同，不符合元素的互异性，所以(5)不能构成集合．(1)(2)(4)中的对象符合集合中元素的特征，能构成集合．判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中的元素要满足互异性、无序性和确定性．【变式与拓展】1．给出以下对象：①高一数学课本中的难题；②所有三角形；③中国古代四大发明；④函数y＝x图象上的一些点；⑤－1，a2，a2＋1(a∈R)三个实数．能构成集合的是________．②③⑤解析：①④中的对象不满足集合中的元素的确定性．题型2元素与集合的关系【例2】下列关系正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个思维突破：解答本题先要弄清符号“∈”与“∉”的区别，再根据符号的意义进行判断．答案：B①12∈R；②2∉Q；③|－3|∉N*；④|－3|∈Q.(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．(2)常用数集及其关系(如图1-1-1)：图1-1-1【变式与拓展】3．用符号“∈”或“∉”填空：(2)11____{y|y＝x2＋x－1，x∈N}；(3)(－2,1)____{y|y＝－x，x∈R}；(4)(－1,1)____{(x，y)|y＝－x，x∈R}．(1)2____{x∈Q|－3x3}；解析：(1)2∈Q，但2，故填“∉”．(2)集合的代表元素是y，所以假设y＝11，则x2＋x－1＝11，解得x＝3或x＝－4.又因为x∈N，所以x＝3.即当x＝3时，y＝11，所以填“∈”．(3)集合中的代表元素为y，而(－2,1)是一个点，故填“∉”．(4)当x＝－1时，y＝－x＝1，故填“∈”．答案：(1)∉(2)∈(3)∉(4)∈34．已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值的集合．解：若x2＝0，则x＝0，又∵x≠0，∴x＝0舍去．若x2＝1，则x＝±1，又∵x≠1，∴x＝－1.若x2＝x，则x＝0(舍去)或x＝1(舍去)．综上所述，实数x的值的集合为{－1}．题型3集合的表示方法【例3】用适当的方法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程(x－1)2(x－2)＝0的解集；(4)坐标平面内第一象限的点组成的集合；(5)所有奇数组成的集合．(3)方程组y＝－x，y＝x＋2的解集；思维突破：根据列举法和描述法的特点将自然语言转化为集合语言．解：(1)不大于10的非负偶数是0,2,4,6,8,10，所以用列举法表示为{0,2,4,6,8,10}．(2)(x－1)2(x－2)＝0有两个实数根1,2，所以用列举法表示解集，即{1,2}．(3)方程组y＝－x，y＝x＋2的解为x＝－1，y＝1.所以用列举法表示方程组的解集，即{(－1,1)}．(4)设坐标平面内第一象限的点为(x，y)，它满足条件x＞0，y＞0，所以用描述法表示集合，即{(x，y)|x＞0，y＞0}．(5)2n＋1(n∈Z)或2n－1(n∈Z)都可以表示“所有的奇数”，设代表元素为x，则“所有奇数组成的集合”可以表示为{x|x＝2n＋1，n∈Z}或{x|x＝2n－1，n∈Z}．若集合中的元素是有限的且是可以一一列举的，一般选用列举法，否则选用描述法．另外，书写集合时要注意点集和数集的不同，如，列举法时“{(x，y)}表示点集，{x，y}表示数集”；描述法时“代表元素(x，y)表示点集，代表元素x，y表示数集”．【变式与拓展】5．用适当的方法表示下列集合：(1)方程x(x＋1)2＝0的所有实数根；(4)所有实数组成的集合．(2)方程组x＋y＝2，2x－y＝4的解集；(3)不等式组x＋30，x－40的解集；解：(1)x(x＋1)2＝0有两个实数根0，－1，所以用列举法表示方程的所有实数根为{0，－1}．所以用列举法表示方程组的解集，即{(2,0)}．所以用描述法表示不等式组的解集，即{x|－3＜x＜4}．(4){x|x∈R}．(2)方程组x＋y＝2，2x－y＝4的解为x＝2，y＝0.(3)由x＋3＞0，x－4＜0解得－3＜x＜4，【例4】已知集合A＝{x|x2＋(m＋2)x＋m＋1＝0，m∈R}，求集合A的所有元素．易错分析：一元二次方程有根时包含两种情况：有两个相等的实数根和两个不相等的实数根．解题时只考虑了x1≠x2的情况，未考虑x1＝x2的情况．解：∵x2＋(m＋2)x＋m＋1＝0，∴x1＝－1，x2＝－1－m.当m＝0时，x1＝x2＝－1，∴A＝{－1}．∴A中的元素为－1.当m≠0时，x1≠x2，∴A＝{－1，－1－m}．∴A中的元素为－1，－1－m.[方法·规律·小结]1．理解集合的概念．(1)集合是一组对象的“整体”．(2)构成集合的对象必须具有“确定性”和“互异性”这两个特征．2．对集合中元素三个特征的认识．(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一．(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不相同的．(3)无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合内元素的位置，集合不变．3．用列举法表示集合时应注意：①元素之间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若集合中的元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定规律，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．4．用描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如{x|y＝x2－1}，{y|y＝x2－1}与{(x，y)|y＝x2－1}是不相同的集合．