常用函数的导数计算

3．2.1几个常用函数的导数3．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.1.几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝f(x)＝xf′(x)＝f(x)＝x2f′(x)＝f(x)＝1xf′(x)＝f(x)＝xf′(x)＝012x－1x212x2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝(a0)f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logaxf′(x)＝(a0且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝0cosx－sinxaxlnaex1xlna1xαxα－1探究点一几个常用函数的导数问题1怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？答案(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数.问题2利用定义求下列常用函数的导数：①y＝c②y＝x③y＝x2④y＝1x⑤y＝x答案①y′＝0②y′＝1③y′＝2x④y′＝－1x2⑤y′＝12x问题3导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.(1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？(2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？答案(1)若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.(2)若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.问题4在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数.(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？(3)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？答案函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，导数分别为y′＝2，y′＝3，y′＝4.(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示这三条直线的斜率.(2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢.(3)函数y＝kx(k0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢.函数y＝kx(k0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少得越慢.问题5画出函数y＝1x的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.答案函数y＝1x的图象如图所示，结合函数图象及其导数y′＝－1x2发现，当x0时，随着x的增加，函数y＝1x减少得越来越快；当x0时，随着x的增加，函数减少得越来越慢.点(1,1)处切线的斜率就是导数y′|x＝1＝－112＝－1，故斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y＝－x＋2.问题6利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答案可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度.探究点二基本初等函数的导数公式问题1你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？答案公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例.例1求下列函数的导数：(1)y＝sinπ3；(2)y＝5x；(3)y＝1x3；(4)y＝4x3；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y′＝1x3′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝(4x3)′＝)(43x′＝3441x＝344x；(5)y′＝(log3x)′＝1xln3.小结对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sinπ3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现sinπ3′＝cosπ3这样的错误结果.二是准确记忆，灵活变形.如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导.跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝(12)x；(3)y＝xx；(4)y＝logx.解(1)y′＝8x7；(2)y′＝(12)xln12＝－(12)xln2；(3)∵y＝xx＝23x，∴y′＝3221x；(4)y′＝1xln13＝－1xln3.31例2判断下列计算是否正确.求y＝cosx在x＝π3处的导数，过程如下：y′|3πx＝cosπ3′＝－sinπ3＝－32.解错误.应为y′＝－sinx，∴y′|3πx＝－sinπ3＝－32.小结函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝x0处的函数值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导.跟踪训练2求函数f(x)＝13x在x＝1处的导数.解f′(x)＝(13x)′＝(x31)′＝－13x131，＝－13x34＝－133x4，∴f′(1)＝－1331＝－13，∴函数f(x)在x＝1处的导数为－13.探究点三导数公式的综合应用例3已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大.解设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图.由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧AOB上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝x，y′＝12x，由题意知kAB＝12.（（∴kl＝12x0＝12，即x0＝1，∴y0＝1.∴P(1,1).小结利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练3点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.解根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图.则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即0xxy＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1).利用点到直线的距离公式得距离为22.1.给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若y＝1x2，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析①y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；②y＝3x＝x，则y′＝13·x≠133x；③y＝1x2＝x－2，则y′＝－2x－3.④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴①③④正确.答案C13-232.函数f(x)＝x，则f′(3)等于()A.36B.0C.12xD.32解析∵f′(x)＝(x)′＝12x，∴f′(3)＝123＝36.A3.设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A.[0，π4]∪[3π4，π)B.[0，π)C.[π4，3π4]D.[0，π4]∪[π2，3π4]解析∵(sinx)′＝cosx，∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈[0，π4]∪[3π4，π).A4.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.解析∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S△＝12×1×|－e2|＝12e2.12e21.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y＝1－2sin2x2的导数.因为y＝1－2sin2x2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3.对于正余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.