基于 TD-SCDMA 系统的频偏估计算法研究

-1-基于TD-SCDMA系统的频偏估计算法研究1范欣然1，彭涛2，王文博31北京邮电大学信息与通信工程学院，北京(100876)E-mail：[e-mail]摘要：本文从原理上推导了四种经典的误差估计算法——Kay、Fitz、L&R以及Kay&R算法，通过分析、比较和多方面仿真验证了多种因素对算法性能的影响，如性能评判标准、待测参量之间的影响、观测序列长度的选取等等，并且这些参数对于频率误差估计影响是不同的。同时从估计范围、估计精度和运算复杂度等方面对现有的4种频偏估计算法进行研究和仿真，给出了算法的选择依据和详细的分析结果。在此基础上，研究了基于用户数据和训练序列的联合频偏估计算法，分析了估计范围和运算复杂度，并采用迭代的方法进一步提高了算法性能。希望这些理论依据对测试仪的误差估计算法起到指导和借鉴作用。关键词：时分同步码分多址系统，频偏估计，性能分析，克拉美-劳下界中图分类号：TN929.51.引言在时分同步码分多址（TD-SCDMA）系统中，由于收发设备间的频率偏差和多普勒频移，导致接收的基带信号存在一定的频偏，严重影响了信号的接收新能。因此，能否快速正确地估计和校准频偏是正确接收数据的前提，是移动通信系统中必不可少的步骤[1]。通常接收机采用锁相环来调整本地载波的频率，获得发送和接收数据之间的载波同步，但TD-SCDMA的短突发通信体制不适合使用跟踪环。因此，本文立足于TD-SCDMA系统，对频偏估计算法进行了详细分析与研究，选出了较好的实现方法来解决精确频偏估计的问题。2.TD-SCDMA系统信号模型AWGNChannelReciprocalFrequencyOffsetEstimatorm(t)m(t)r(t)z(t)图2-1系统链路模型本文所参考的系统链路模型如图2-1所示，采用离散时间模型，采样周期等于系统的码片间隔cT。图2-2给出了TD-SCDMA链路的时隙结构。一个时隙包含两个数据域和一个训练序列，该训练序列将两个数据域分隔。在TD-SCDMA系统中，该训练序列称为Midamble1本课题得到安捷伦公司资助。序列。发送的训练序列为接收机所知，可以用来进行同步计算，本文利用该训练序列主要进行频偏的估计。图2-2TD-SCDMA系统链路的时隙结构因此，传输的训练序列可以表示为：()()14421jiicimtmetiTπδ==−∑(2-1)信号()mt通过加性白高斯噪声信道后，得到的接受信号及其采样序列可以表示为：()()()()144221jijfticirtemetiTntππθδτΔ+==−−+∑(2-2)()()22cjkjfkTkckkrrkTemenππτθτ⎡⎤Δ++⎣⎦+=+(2-3)其中fΔ表示载波的频率偏移；θ是一个未知的随机相位偏移，其概率密度服从[)0,2π的均匀分布；τ是时间偏移；()nt是一个加性白高斯噪声，,,kkcksnnjn=+，{},kcn和{},ksn是相互独立的零均值高斯随机序列，方差都为22σ。由于训练序列为接收机所知，因此可以通过该训练序列获得有用信号。将kr与()2jkckmkTmeπ=相除生成输入载波频率偏移估计器的信号：()22,1,2,,cjfkTkkkjkkrzevkNmeπτθπ⎡⎤Δ++⎣⎦==+=(2-4)其中N为观测序列的长度，即为训练序列长度，2jkkkkevnmπ−=，{}kv为独立零均值高斯随机序列。3.频偏估计算法介绍3.1Kay算法根据Kay算法[2]，将(2-4)转化为以下形式：()()()221ccjfkTjfkTkkkzevxeπτθπτθ⎡⎤⎡⎤Δ++Δ++⎣⎦⎣⎦=+=+(3-1)其中()2cjfkTkkxveπτθ⎡⎤−Δ++⎣⎦是一个复白高斯噪声序列，方差为2σ。设,,kkIkQxxjx=+，于是：()122,21,,,11exptan1kQkkIkQkIxxxxjx−⎛⎞⎡⎤+=++×⎜⎟⎜⎟⎣⎦+⎝⎠(3-2)当1SNR时，()()1,,1exptanexpkkQkQxjxjx−+≈≈(3-3)通过以上近似，得到(),2ckQjfkTxkzeπτθ⎡⎤Δ+++⎣⎦=。因此，加性噪声被转化为等效的相位噪声,kQx，方差为()()2,var0.5var2kQkxxσ==。定义,kkQxφ=，则有：()()()()2221ccckjfkTjfkTjfkTkkkzevxeeπτθπτθπτθφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤Δ++Δ++Δ+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+=+≈(3-4)其中kφ是一个零均值白高斯噪声，方差为22σ。通过以上计算，可以得到下式：{}{}{}1*11argargarg2,11kkkkkckkzzzzfTkNπφφ+++Δ=−==Δ+−≤≤−(3-5)显然，{}*1argkkzz+是2cfTπΔ的带噪声分量的均值，通过{}kz序列可以获得()1N−个测量值。由式(3-5)可知，对于频率偏移的估计问题即为对一个有色高斯噪声过程均值的估计。该过程实际上是一个系数为1和-1的滑动平均。式(3-5)的线性模型的昀小方差无偏（MVU）估计通过昀小化下式得到：()()122TccfTfTππ−=−Δ−ΔJΔ1CΔ1(3-6)其中[]121,,,TN−=ΔΔΔΔ，[]11,1,,1T=，C是一个()()11NN−×−维的kΔ的协方差矩阵。于是昀小方差无偏估计为：111ˆ2TTcfTπ−−Δ=×1CΔ1C1(3-7)估计值的方差为：()22111ˆvar4TcfTπ−Δ=×1C1(3-8)ˆfΔ是一个无偏的高斯随机变量，与观测值呈线性关系。为了计算1−C，首先注意kΔ是一个实的滑动平均过程，噪声方差为22σ，系数为011,1bb==−。因此，协方差为：()()()()()222201220102112202cbbccbbckkσσσσ=+==−==−=≥由此可知，该协方差矩阵为以下形式：()()2112100012100200012NNσ−×−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠C()()11NN−×−维矩阵的(),ij元素的倒数由下式给出：()122min,1,1ijijijijNNσ−⎡⎤⎡⎤=−≤≤−⎣⎦⎢⎥⎣⎦C(3-9)于是得到：()()212211211616TNTkkkNNNNσγσ−−−=−=−=Δ∑1C11CΔ(3-10)其中{}kγ是一个窗函数，对称点为2kN=。22321,1,2,,121kNkNkNNNγ⎡⎤−⎛⎞=⋅−=−⎢⎥⎜⎟−⎝⎠⎢⎥⎣⎦(3-11)昀终，得到fΔ的估计值为：{}1*111ˆarg2NkkkkcfzzTγπ−+=Δ=∑(3-12)3.2Fitz算法Fitz算法[3]通过计算kz的互相关系数实现，是一个近似的昀大似然估计。如式(2-4)所示的正弦信号频率的昀大似然估计由下式给出：2211ˆargmax2cNjfTkMLkkcfzeTππ−Δ=Δ=×∑(3-13)其中fΔ是fΔ的瞬时值，是通过昀大化fΔ的昀大似然函数得到的。似然函数由周期图得到：()()222*111ccNNNjfTkmjfTkfkkmkkmLzezzeππ−Δ−−ΔΔ====∑∑∑z(3-14)由式(3-14)，令互相关系数为0得到：()()2*110cNNjfTkmkmkmkmzzeπ−Δ−==−=∑∑(3-15)重新整理上式得到：()()121Im0cNjfTmNmmNmRmeπ−−Δ=⎧⎫−=⎨⎬⎩⎭∑(3-16)其中()NRm表示序列kz的估计的自相关，定义为：()*11,11NNiimimRmzzmNNm−=+≤≤−−∑(3-17)注意到式(3-16)中括号内的部分为估计自相关()NRm的离散傅里叶变换的形式，通过一个窗函数()(),1,2,,1wmmNmmN=−=−…进行加权。由加权函数发现，在0m=附近，相关系数()NRm包含很少的或者根本没有频率偏移信息，这是因为这些值是通过相隔很近的信号值得到的。另一方面，当m接近于N时，()NRm是一个kz自相关的不准确估计，因为式(3-17)中求和元素的数量很少。将靠近mN=的不可靠自相关值舍弃，并且用一个全1的序列替代()wm之后，得到一个次优的频率偏移估计：()21Im0cMjfTmNmRmeπ−Δ=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑(3-18)由于自相关函数有如下形式：()2cjfTmNRmenoiseπΔ=+(3-19)所以：()(){}arg2NcERmfTmπ=Δ(3-20)当N较大时有：()()(){}()(){}2Imsinarg2arg2cjfTmNNcNcRmeRmfTmRmfTmπππ−Δ≈−Δ≈−Δ(3-21)于是，式(3-18)当N较大时近似为：(){}1arg20MNcmRmfTmπ=⎡⎤−Δ≈⎣⎦∑(3-22)对式(3-22)进行代数计算，得到fΔ的估计值为：(){}()(){}111arg1ˆarg12MNMmMLNMmccmRmfRmMMTTmππ===Δ≈=+∑∑∑(3-23)3.3L&R算法信道模型如式(2-4)所示，通过寻找式(3-14)给出的似然函数的昀大值获得频率偏移的估计即为该算法。L&R算法[4]的分析与Fitz算法的分析基本相同，不同之处在于对式(3-18)采用不同的替代形式。用泰勒级数展开的形式对式(3-18)进行替代，进行计算得到：(){}(){}11Im1ˆ2ReMNmMsNmRmfTmRmπ==Δ≈∑∑(3-24)基于上述假设()()exp212NcmcmRmjfmTvjmfTvππ=Δ+≈+Δ+，其中mv是一个噪声分量，1mv，于是：(){}()11ImargMMNNmkRmMRm==⎧⎫≈⎨⎬⎩⎭∑∑(3-25)(){}()11Re2MNmMMmRm=+≈∑(3-26)将(3-25)和(3-26)带入式(3-24)中，昀终得到fΔ的估计为：()()11ˆarg1MNmcfRmMTπ=⎧⎫Δ=⎨⎬+⎩⎭∑(3-27)3.4Kay&R算法Kay&R算法[5]通过计算()zk的自相关和该自相关值序列的相位增量来实现。将式(3-19)转化为如下形式：()2'2'cmcjmfTjmfTmmReveπφπΔ+Δ=+=(3-28)其中'21'mcjjmfTmeveφπ−Δ+。考虑下式：{}*11arg2''mmcmmRRfTπφφ−−=Δ+−(3-29)若()12cfTΔ，fΔ的估计表示为：{}*11ˆarg2mmcfRRTπ−Δ=×(3-30)在平滑噪声的影响之后，可以得到fΔ的昀终估计为：{}*111ˆarg2MmmmmcfwRRTπ−=Δ=×∑(3-31)()()()()22314631mNmNmMNMwMMMNN−−+−−⎡⎤⎣⎦=−+−(3-32)4.Crame-Rao下界接收信号为一个样本矢量：[]121,,...,TNrrr−=R。由采样信号的观测值开始考虑复数振荡器{}exp2jftπΔ的频率偏移fΔ的昀大似然估计问题：()2,1sjfkTkkrenkNπθΔ+=+≤≤(4-1)其中sT是采样间隔；θ是一个未知相位；,,kkcksnnjn=+，,kcn和,ksn是独立高斯噪声采样，均值为0，方差为22σ。此信号模型与式(2-4)一致，所以，可以使用该Crame-Rao下界（CRLB，Cramer-RaoLowerBound）[6]作为频偏估计算法性能评判准则。因此，,,,1kkikqrrjrkN=+≤≤(4-2)其中(),,cos2kiskcrfkTnπθ=Δ++，(),,sin2kqsksrfkTnπθ=Δ++。于是，当未知参数矢量α时，采样矢量R的联合概率密度函数（PDF，probabilitydensityfunction）由下式给出：()()()122,,22011;expNNkikk