第五节 多元复合函数与隐函数微分法

1证略第五节多元复合函数与隐函数微分法定理如果函数)(tu及)(tv都在点t可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)](),([ttfz在对应点t可导，且其导数可用下列公式计算：uvtz一、多元复合函数的偏导数.ddddddtvvztuuztz1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形2uvwtz以上公式中的导数称为全导数.tzdd类似地,若中间变量为三个,),,(wvufz,)(tu,)(tv,)(tw,则复合函数)](),(),([tttfz的导数为.ddddddddtwwztvvztuuztz3设vuz2,xvxue,sin,求xzdd.解例1xvvzxuuzxzddddddxxuecos2.e2sinxx4xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz.2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理设),(vufz具有连续偏导数,),(yxu,),(yxv可偏导,则复合函数)],(),,([yxyxfz可偏导,且有链式法则如图示uvxzy5vz,xvyzuz链式法则如图示uvxzyxzuzxuyuvz.yv2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理设),(vufz具有连续偏导数,),(yxu,),(yxv可偏导,则复合函数)],(),,([yxyxfz可偏导,且有6xwwzxvvzxuuzxz,zwvuyxywwzyvvzyuuzyz.类似地,设),,(wvufz,),(yxu,),(yxv,),(yxw,则复合函数)],(),,(),,([yxyxyxfz的偏导数为7设vzusine，而xyu，yxv，解1cosesinevyvuu,)]cos()sin([eyxyxyxy1cosesinevxvuu.)]cos()sin([eyxyxxxy例2求xz和yz.xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz8设tuvzsin，而tue，tvcos，解tztvvztuuztzddddddttuvtcossinetttttcossinecose.cos)sin(cosetttt例3.ddtz求全导数9解例4设22,yxuxyuz,求yzxz,.xfxuufxzyuxxy2，323yyxyuufyfyzyxyxu2.323xyx令xyuuyxfz),,(,或用求导法则，)(xuxuyxz等，)3(22yxy10设)sin(sinsinxyfxu,其中f可微，求证证例5.coscoscoscosyxyxuxyuxu)cos()(cosxvfx,)](1[cosvfxyu,cos)(yvf所以yxuxyucoscosxyvfcoscos)(记,sinsinxyvyxvfcoscos)](1[.coscosyx11设)(xyxFz,其中F可微，求证证例6.lnzyzyyxzxxzxuuFxuF)()(yz所以记,xyu,ln)()(yyuFxuFx,)(1xxyuFxyuuFx)(yzyyxzxlnyyuFxuxFxln)()(2yyuFxxln)(2.)(zyxFx12设)(xyxyfz,f有二阶连续导数,求解例7.,,2yxzyzxzxz,)(2xyyfyz,)1(xxfyxz2)()1(2xyyxxf.)11(2xf13设),(xyzzyxfw，f具有二阶连续偏导数，解记,zyxu;xyzv记,),(1uvuff,),(212vuvuffxwxvvfxuuf;21fyzf例8求xw和zxw2.同理有,2f,11f，22f等等.14zxw2)(21fyzfz;221zfyzfyzfzf1zvvfzuuf11;1211fxyfzf2zvvfzuuf22;2221fxyf于是zxw21211fxyf2fy)(2221fxyfyz.)(22221211fyfzxyfzxyf),(xyzzyxfw,21fyzfxw15解设),(22yxxyfz,f具有连续的二阶偏导数,求yxz2.xz,221fxfyyxz21f.4)(2221222111fxyfyxfxyfy)2(1211fyfxx2)2(2221fyfx例916练习：P324习题七17若又有)(tgx,g可导，则复合函数)]([tgfy的微分为二、一阶全微分的形式不变性回顾：结论：的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyxxxfyd)(d设)(xfy可导，则xxfyd)(d,而ttgxd)(d,因此又有xxfyd)(d,,d)()(dttgxfy此性质称为一阶微分的形式不变性.18设函数),(yxfz可微，当x,y为自变量时，有全微分yyzxxzzddd可以证明，当x,y为s,t的可微函数，即),(tsxx),(tsyy时,对复合函数)],(),,([tsyytsxfz,仍有公式yyzxxzzddd这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微分形式不变，称为一阶微分的形式不变性.二、一阶全微分的形式不变性19解例10求下列函数的偏导数和全微分.xyyxze)()1(]e)[(ddxyyxz)(dede)(yxyxxyxy)d(de)dd(e)(yxyxxyyxxyxy,d)1(ed)1(e22yxyxxyxyxyxy所以,)1(e2yxyxzxy.)1(e2xyxyzxy20解例10求下列函数的偏导数和全微分.)2ln()2(2yxxz所以)]2ln([dd2yxxz)]2[ln(dd)2ln(22yxxxyxyxyxxxyx2)2(dd)2ln(222,d22d]22)2[ln(2222yyxxxyxxyx,22)2ln(222yxxyxxz.222yxxyz21三、隐函数微分法一元隐函数存在定理设函数),(yxF满足:1)0),(00yxF；2)在点),(00yxP的某一邻域内F具有连续偏导数yxFF,；3)0),(00yxFy,则在点),(00yxP的某一邻域内存在惟一的隐函数)(xfy,满足0),(yxF(当然)(00xfy),且有连续的导数.ddyxFFxy(证略)22例11Kepler方程yxysin)10(.，取yxyyxFsin),(，0cos1yFy故隐函数)(xfy必定存在(但写不出显式).23推导:，0)](,[),(xfxFyxF，0ddxyyFxF，0yF.ddyxFFxyyxFFxydd，0),(yxF等式两边对x求导，24例12设2esinxyyx,求xydd.解法1所以,e2yFxx设2esin),(xyyyxFx,,2cosxyyFy.2cosedd2xyyyFFxyxyx25方程两边关于x求导,得，yxyyyyx2ecos2解得.2cose2xyyyyx例12设2esinxyyx,求xydd.解法226二元隐函数存在定理设函数),,(zyxF满足:1)0),,(000zyxF；2)在点),,(000zyxP的某一邻域内F具有连续偏导数zyxFFF,,；3)0),,(000zyxFz,则在点),,(000zyxP的某一邻域内存在惟一的隐函数),(yxfz,满足0]),(,,[yxfyxF(当然),(000yxfz),且有连续的偏导数(证略)，zxFFxz.zyFFyz27),,(zyxF两边对x求偏导,得0xzFFzx,而0zFzxFFxz.两边对y求偏导,得0yzFFzy,而0zFzyFFyz.0)],(,,[yxfyxF,推导:，0),,(zyxF，zxFFxz.zyFFyz28例13解法1设隐函数),(yxzz由方程yzxz2sin确定，求yzxz,.设yzxzzyxF2sin),,(，,2xyzFx,sin2zxzFy,cos2yxzFz所以，yxzxyzFFxzzx2cos2.cos22yxzzxFFyzzy29方程两边关于x求偏导数,，xzyxxyzxzz22cos例13解法2设隐函数),(yxzz由方程yzxz2sin确定，求yzxz,.;cos22yxzxyzxz方程两边再关于y求偏导数,，yzyxzxyzz22cos.cos22yxzzxyz30方程两边求全微分,，zyxyzxxxyzzzddd2dcos22例13解法3设隐函数),(yxzz由方程yzxz2sin确定，求yzxz,.解得,dcosdcos2d222yyxzzxxyxzxyzz从而,cos22yxzxyzxz.cos22yxzzxyz31例14解由方程1543zxzyz确定隐函数),(yxzz，求)0,0(xz,)0,0(yz.视z为yx,的二元函数),(yxzz,方程两边关于x求偏导数,，05434342xzzxzzxzxzzy当0yx时,1z，代入上式得，051xz;51)0,0(xz32例14解由方程1543zxzyz确定隐函数),(yxzz，求)0,0(xz,)0,0(yz.视z为yx,的二元函数),(yxzz,方程两边关于y求偏导数,，05434323yzzyzzxyzzyz将0yx,1z代入，，051yz.51)0,0(yz33设),(yxfz由方程0eyxzxxyz所确定，求zd。例15解对方程两边微分，解得0)ddd(ededddxyzxxxyzyxzyxz.dde1e)1(1dyxxxzyxzyxz34设04222zzyx，求22xz.例16视z为yx,的二元函数),(yxzz,方程两边关于x求偏导,得zxxz2,解0422xzxzzx22xz2)2()2(zxzxz2)2(2)2(zzxxz.)2()2(322zxz35例17解已知xyuue，求yxu2，设xyuzyxFue),,(，,yFx,xFy,e