§3.3算术平均数与几何平均数1(广州市花都区高中数学学科带头人 陈文运)

2020年2月10日星期一12020年2月10日星期一2一、定理：如果Rba,，那么abba222（当且仅当ba时取“=”）证明：222)(2baabba0)(0)(22babababa时，当时，当abba2221．指出定理适用范围：Rba,2．强调取“=”的条件ba2020年2月10日星期一3二、定理：如果ba,是正数，那么abba2（当且仅当ba时取“=”）证明：∵abba2)()(22∴abba2即：abba2当且仅当ba时abba2注意：1．这个定理适用的范围：Rba2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。2020年2月10日星期一4两个公式的逆运用：同上），、时取等号）当且仅当，、(2(2.12222baabRbabaabbaRba同上）、时取等号）当且仅当、()2(,(2,.22baabRbabaabbaRba2020年2月10日星期一5例题：的最大值。求已知（变式题）的最大值。求已知xyyxxyyx,22,2.12222的最大值。求已知（变式题）的最大值。求已知xyyxxyyx,22,2.22020年2月10日星期一6强化练习的最大值。求、变式题：已知的最大值。求、已知yxyxRyxyxyxRyx2222loglog,42,loglog,4,.2的最小值。求变式题：已知的最小值。求已知yxyxyxyx42,4222,4.12020年2月10日星期一7的最值。求、变式题：已知的最值。求、已知yxRyxyxyxRyxyx21,,111,,1.32020年2月10日星期一84、若Ryx,，设2),(22yxyxQ2),(yxyxAxyyxG),(，yxyxH12),(求证：),(),(),(),(yxHyxGyxAyxQ加权平均；算术平均；几何平均；调和平均2442)2(222222222yxyxyxxyyxyx证：∴2222yxyx即：),(),(yxAyxQ由平均不等式),(),(yxGyxA),(222),(yxGxyxyxyyxxyyxH即：),(),(yxHyxG2020年2月10日星期一9五、极值定理已知yx,都是正数，求证：1如果积xy是定值p，那么当yx时和yx有最小值p22如果和yx是定值s，那么当yx时积xy有最大值241s证：∵Ryx,∴xyyx21当xyp(定值)时，pyx2∴yxp2∵上式当yx时取“=”∴当yx时有min)(yxp22当syx(定值)时，2sxy∴241sxy∵上式当yx时取“=”∴当yx时有2max41)(sxy2020年2月10日星期一10注意强调：1最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）2用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”2020年2月10日星期一11练习：是多少？最大值还是最小值呢？有则变式题：已知：的最小值。求已知：xxxxxx1,01,0.12020年2月10日星期一124abcdbd)cd)(ac(abdc,b,a,1都是正数，求证：已知例abcdbdaccdababcdbdaccdab440202dc,b,a,bdacbdaccdabcdab都是正数，得证明：由：六：例题2020年2月10日星期一13例2．证明下列各题：(1)210loglgxx)1(x证：∵1x∴0lgx0lg10lg10logxx于是2lg1lg2lg1lgxxxx⑵若上题改成10x，结果将如何？解：∵10x0lgx010logx于是2)10log()lg(xx从而210loglgxx2020年2月10日星期一14例3：若14x，求22222xxx的最大值解：])1(1)1([21]11)1[(2111)1(21222222xxxxxxxxx∵14x∴0)1(x0)1(1x从而2])1(1)1([xx1])1(1)1([21xx即1)2222(max2xxx（舍去）时取到最大值或当2-1x2020年2月10日星期一15例4．已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值解：yxyxbxaybaybxayxyx))((1)(呢？变式题：若4)(22ybxabayxbxayba2020年2月10日星期一16课堂练习：见教材。2020年2月10日星期一17