必修二：球的内切和外接 例题讲解

圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的根据台体的特征，如何求台体的体积？ABABCDCDPSSh''1()3VSSSSh''11()331[()]3VVVShxSxShSSx小大'22()SxShx'''SxShxhxSSS'''1[()]3SVhSSSSS''1[]3SSSSh柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？上底扩大''1()3VSSSSh上底缩小VSh'SS'0S13VSh例3有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？求此棱柱挖去圆柱后的体积和表面积定理:半径是R的球的体积334RV定理:半径是R的球的表面积24RS球的体积、表面积的计算公式CABOR球的半径r和正方体的棱长a有什么关系？.ra球与多面体的内切、外接正方体的外接球二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个。一、球体的体积与表面积343VR球①24SR球面②多面体的外接球多面体的内切球棱切：一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。图3图4图5中截面设为1214=SR甲球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1O例1甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为()A.1:2:3B.C.D.1:2:31:8:27331:4:9ABCDD1C1B1A1O中截面正方形的对角线等于球的直径。224=2SR乙.球内切于正方体的棱ABCDD1C1B1A1OA1AC1CO对角面设为1223R球的内接正方体的对角线等于球直径。234=3SR丙球外接于正方体§1.3.2球的体积和表面积安徽省含山县林头中学⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究若正方体的棱长为a，则a球与正方体的“接切”问题典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面•找准数量关系21araaaa2ar222aa2ar233球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心AOABCO例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，r332AB2332AO是正三角形，ABCROO,2ABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径例5、求棱长为a的正四面体A-BCD的外接球的表面积。变式题：1、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.B.C.D.234336A五、构造直角三角形1、求棱长为a的正四面体外接球的体积．2、求棱长为a的正四面体内切球的体积OABCD图1四面体与球的“接切”问题典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为(h为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。4h43hOBERt(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心．(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”．(3)正四面体内切球半径是高的，外接球半径是高的.(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．31内切表多RSV4143思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？四面体与球的“接切”问题思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法1例2、正三棱锥的高为1，底面边长为。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。过侧棱AB与球心O作截面(如图)在正三棱锥中，BE是正△BCD的高，O1是正△BCD的中心，且AE为斜高解法1：O1ABEOCD作OF⊥AE于FF设内切球半径为r，则OA=1－r∵Rt△AFO∽Rt△AO1E1624331V2BCDA26r6258S球OABCD设球的半径为r，则VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD32全Sr31r3223解法2：例2、正三棱锥的高为1，底面边长为。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。62内切球全多面体rS31V注意：①割补法，②探究(2)：如图是一个简单组合体的三视图，想象它表示的组合体的结构特征，尝试画出它的示意图。正视图侧视图俯视图思考3:怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？ABCMzBCASyoxBCAS例2．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且两底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为4cm，圆锥的高为3cm，画出此几何体的直观图.xyOOxyZ·练习4:已知一四边形ABCD的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，请画出这个图形的真实图形。六、寻求轴截面圆半径法正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为.2CDABSO1图3解设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为O，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得又，∴球心O必在所在的直线上.∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由是外接圆的半径，也是外接球的半径.故1OABCDOO平面11SOASCASC12..,2,2222ACRtACASCACSCSAACSCSA为斜边的是以得34球VABCDSO平面12球的表面积与体积正四棱锥S—ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为________．•【思路点拨】根据球截面性质找出球半径与截面圆半径和球心到截面距离的关系，求出球半径．【解析】如图所示，AB＝BC＝CD＝DA＝SA＝SB＝SC＝SD＝2，O为球心，球的半径为R，SO⊥平面ABCD于M点，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，DM＝AM＝22·2＝1，SM＝SA2－AM2＝2－1＝1，在Rt△AOM中AO2＝OM2＋AM2，即R2＝1＋(R－1)2，解得R＝1，∴球的体积为43πR3＝43π.【答案】43π[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a.(1)求它的外接球半径；(2)求它的内切球半径．【解析】如图．(1)设外接球的半径为R，球心为O，则OA＝OC＝OS，所以O为△SAC的外心，即△SAC的外接圆的半径就是球的半径．∵AB＝BC＝a，∴AC＝2a.∵SA＝SC＝AC＝2a，∴△SAC为正三角形．∴R＝23SO＝23×32×2ª＝63a.因此R＝63a.(2)设内切球的半径为r，作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，则有SF＝SB2－BF2＝(2a)2－a22＝72a，S△SBC＝12BC·SF＝12a·72a＝74a2，S棱锥全＝4S△SBC＋S底＝(7＋1)a2.又SE＝SF2－EF2＝72a2－a22＝62a，∴V棱锥＝13Sh＝13a2·62a＝66a3.根据13r·S全＝V棱锥，有r＝3V棱锥S全＝3×66a3(7＋1)a3＝42－612a.(12分)正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的全面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．•【思路点拨】(1)利用特征三角形求斜高即可；•(2)抓住球心到正三棱锥四个面的距离相等求球的半径．【规范解答】(1)底面正三角形内中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面积的斜高为12＋(2)2＝3.2分∴S侧＝3×12×26×3＝92.4分∴S全＝S侧＋S底＝92＋12×32×(26)2＝92＋63.6分(2)设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O，连结OP、OA、OB、OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP—ABC＝VO—PAB＋VO—PBC＋VO—PAC＋VO—ABC＝13S侧·r＋13S△ABC·r＝13S全·r＝(32＋23)r.又VP—ABC＝13×12×32(26)2×1＝23，∴(32＋23)r＝23，得r＝2332＋23＝23(32－23)18－12＝6－2.8分∴S内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.10分V内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.12分PAO1DEO例3求棱长为a的正四面体P–ABC的外接球的表面积过侧棱PA和球心O作截面α则α截球得大圆，截正四面体得△PAD，如图所示,G连AO延长交PD于G则OG⊥PD，且OO1=OG∵Rt△PGO∽Rt△PO1DaRaaR633623aR46a23a63a362a23S表解法1：O1ABEO132θ33sin36cos在Rt△AO1E中sincos12tan23在Rt△OO1E中26OO16258S球例、正三棱锥的高为1，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。62