最优控制极小值原理

3.1连续系统的极小值原理第三章极小值原理及应用3.2离散系统的极小值原理3.3时间最优控制小结3.5时间-燃料最优控制3.4燃料最优控制第三章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理一.问题的提出用变分法求解最优控制时，认为控制向量不受限制。但是实际的系统，控制信号都是受到某种限制的。)(tu因此，应用控制方程来确定最优控制，可能出错。0uHa)图中所示，H最小值出现在左侧，不满足控制方程。b)图中不存在0uHrRUt)(u古典变分法的局限性u(t)受限的例子例3.1)()()(tutxtx1)0(x1)(tu10()dJxtt()()(()())Hxttxtut1)()(txHt协态方程0)(tuH极值必要条件0)1(第三章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理()min()[()]futJuxt..st()(,),xtfxu00(),xtx0[,]fttt()xt()t()Hxt()Htx二.自由末端的极小值原理定理3-1：对应如下定常系统、末值型性能指标、末端自由、控制受约束的最优控制问题①及满足下述正则方程:对于最优解和最优末端时刻、最优轨线，存在非零的n维向量函数使()t第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理(,,)()(,)THxutfxu()xt()t00()()()ffxtxtxt***()(,,)min(,,)utHxuHxu式中哈密顿函数②及满足边界条件③哈密顿函数相对最优控制为极小值ft****((),(),())((),(),())fffHxtuttHxtuttconstft*****((),(),())0ffftttHxtutt④哈密顿函数沿最优轨迹线保持为常数固定时当自由时当最小值原理只是最优控制所满足的必要条件。但对于线性系统()()()()()xtAtxtBtut1111()()()()()nnnnatatAtatat，1()()()nbtBtbt最小值原理也是使泛函取最小值得充分条件。第三章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理/0Hu/0Hu***()((),(),())((),(),())utHxtuttHxtutt上述极小值原理与变分法主要区别在于条件③。不再成立，而代之为当控制有约束时，极小值原理的重要意义：（P51)（1）容许控制条件放宽了。（2）最优控制使哈密顿函数取全局极小值。（3）极小值原理不要求哈密顿函数对控制的可微性。（4）极小值原理给出了最优控制的必要而非充分条件。当控制无约束时，相应条件为；第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理说明：1）极小值原理给出的只是最优控制应该满足的必要条件。2）极小值原理与用变分法求解最优问题相比，差别仅在于极值条件。3）非线性时变系统也有极小值原理。例3.2重解例3.1，哈密顿函数()()(()())(1)()()Hxttxtutxtut伴随方程1)()(txHt0)1(由极值必要条件，知1sign1u00，01)(1tet01t又于是有1)(tu第三章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理1)()(txtx，1)0(x12)(tetx110d21Jxte)(tu协态变量与控制变量的关系图第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理二、极小值原理的一些推广形式1、时变问题定义：描述最优控制问题的相关函数显含时间，称为时变问题。解决办法：引入新状态变量，将时变问题转为定常问题，利用定理3-1。()min()[(),]ffutJuxtt..st()(,,),xtfxut00()xtx0[,],fftttt未知定理3-2：()Hxt()Htx满足下述正则方程:()xt()t①及式中哈密顿函数(,,,)()(,,)THxuttfxut第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理()xt()t00()()()ffxtxtxt②及满足边界条件③哈密顿函数相对最优控制为极小值④在最优轨线末端哈密顿函数应满足***()[(),(),(),]min[(),(),(),]utHxttuttHxttutt*********[(),][(),(),(),]fffffffxttHxttuttt****(,,,)[(),(),(),][(),(),(),]ftfffftHxuHxttuttHxttuttd⑤沿最优轨线哈密顿函数变化率定理3－2与定理3－1的区别：P61第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理2、积分型性能指标问题..st()(,,),xtfxut00()xtx0[,],fftttt未知定理3-3：()Hxt()Htx满足下述正则方程:()xt()t①及式中哈密顿函数0()min()[(),()]fttutJuLxtutdt()xt()t②及满足边界条件00()xtx()0ft)u,x(f)(λ)u,x(L)λ,u,x(tHT第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理③哈密顿函数相对最优控制为极小值ft****((),(),())((),(),())fffHxtuttHxtuttconstft*****((),(),())0ffftttHxtutt④哈密顿函数沿最优轨迹线保持为常数固定时当自由时当***()[(),(),()]min[(),(),()]utHxttutHxttut第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理例3-2：试求：时的，解：定常系统、积分型固定，末端自由，受约束。取哈密顿函数xtxtut05x0.51ut1min0JxtutdtJ*u*xftuuxuxuxH115.01*tu111xHt1tcet0111ceec11tte由协态方程由边界条件注：控制的切换点为λ(ts)=1第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理10ts111tstes0.307ts1*0.5ut00.307t1307.0t控制的切换点处00.307t1307.0t5.0121ttecectx00.307t1307.0t*41(t)4.370.5ttexe00.307t1307.0t根据边界条件继续求出：5.01txtxtx代入状态方程得控制的切换时间：第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理tt72.11307.0105.01307.01t*u0tx*t1307.0044.653.12第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理最优性能指标为：1307.0307.0010***68.8)137.4()24(dtedtedttutxJtt例3-3：做法与前面得一样，引入两个拉格朗日乘子向量，构造广义泛函，在满足末端约束条件下，泛函取得极值是等价的。3、末端受约束的情况定理3-4:（定常系统)(P68)定理3-5:（时变系统)(P69)4、复合型性能指标情况定理3-6：表3-1,3-2（P73-74）第3章极小值原理及其应用3.1连续系统的极小值原理END谢谢