最优潮流

最优潮流问题OptimalPowerFlow高等电力网络分析：一、概述1.最优潮流和基本潮流的比较潮流计算可以归结为针对一定的扰动变量p(负荷情况)，根据给定的控制变量u(如发电机的有功出力、无功出力或节点电压模值等)，求出相应的状态变量x(如节点电压模值及角度)，这样通过一次潮流计算得到的潮流解决定了电力系统的一个运行状态。这种潮流计算也可以称之为基本潮流(或常规潮流)计算，一次基本潮流计算的结果主要满足了潮流方程式或变量间等式约束条件0),,(puxf一次潮流计算所决定的运行状态可能由于某些状态变量或者作为u,x函数的其它变量在数值上超出了它们所容许的运行限值(即不满足不等式约束条件)，因而在技术上并不是可行的。工程实际上常用的方法是调整某些控制变量的给定值，重新进行前述的基本潮流计算，这样反复进行，直到所有的约束条件都能够得到满足为止。这样便得到了一个技术上可行的潮流解。由于系统的状态变量及有关函数变量的上下限值间有一定的间距，控制变量也可以在其一定的容许范围内调节，因而对某一种负荷情况，理论上可以同时存在为数众多的、技术上都能满足要求的可行潮流解。每一个可行潮流解对应于系统的某一个特定的运行方式，具有相应总体的经济上或技术上的性能指标(如系统总的燃料消耗量、系统总的网损等)，为了优化系统的运行，就有需要从所有的可行潮流解中挑选出上述性能指标为最佳的一个方案。而这就是本节要讨论的最优潮流所要解决的问题。因此所谓最优潮流，就是当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过控制变量的优选，所找到的能满足所有指定的约束条件，并使系统的某一个性能指标或目标函数达到最优时的潮流分布。综上所述，最优潮流和基本潮流比较，有以下不同点：(1)基本潮流计算时控制变量u是事先给定的；而最优潮流中的u则是可变而待优选的变量，为此在最优潮流模型中必然有一个作为u优选准则的目标函数。(2)最优潮流计算除了满足潮流方程这一等式约束条件之外，还必须满足与运行限制有关的大量不等式约束条件。(3)进行基本潮流计算是求解非线性代数方程组；而最优潮流计算由于其模型从数学上讲是一个非线性规划问题，因此需要采用最优化方法来求解。(4)基本潮流计算所完成的仅仅是一种计算功能，即从给定的u求出相应的x；而最优潮流计算则能够根据特定目标函数并在满足相应约束条件的情况下，自动优选控制变量，这便具有指导系统进行优化调整的决策功能。2.最优潮流的发展历史电力系统最优潮流的历史发展过程可以回溯到60年代初期，由于基于协调方程式的经典经济调度方法虽然具有方法简单，计算速度快，适宜于实时应用等优点，但协调方程式在处理节点电压越界及线路过负荷等安全约束的问题上却显得无能为力。随着电力系统规模的日益扩大以及一些特大事故的发生，电力系统运行安全性问题被提到一个新的高度上来加以重视。因此，人们越来越迫切要求将经济和安全问题统一起来考虑。而以数学规划问题作为基本模式的最优潮流在约束条件的处理上具有很强的能力。最优潮流能够在模型中引入凡是能表示成状态变量和控制变量函数的各种不等式约束，能够将电力系统对于经济性、安全性以及电能质量三方面的要求，完美地统一起来。所以从它的诞生之日起，便受到了广泛的重视。建立在严格的数学基础上的最优潮流模型首先是由法国的Carpentier于60年代初期提出的。40多年来，广大学者对最优潮流问题进行了大量的研究，这方面的参考文献十分浩瀚。这些研究工作分为两类：提出了因为所采用的目标函数以及所包含的约束条件的不同，因而构成的应用范围不同的最优潮流模型。从改善收敛性能、提高计算速度等等目的出发，提出的最优潮流计算的各种模型和求解算法。二、最优潮流的数学模型最优潮流问题的一般数学模型(一)最优潮流的变量在最优潮流的算法中，常将所涉及的变量分成状态变量(x)及控制变量(u)两类。控制变量通常由调度人员可以调整、控制的变量组成；控制变量确定以后，状态变量也就可以通过潮流计算而确定下来。一般常用的控制变量有：(1)除平衡节点外，其它发电机的有功出力：(2)所有发电机节点(包括平衡节点)及具有可调无功补偿设备节点的电压模值；(3)带负荷调压变压器的变比。状态变量由需经潮流计算才能求得的那些变量组成，一般常见的有：(1)除平衡节点外，其它所有节点的电压相角；(2)除发电机节点以及具有可调无功补偿设备节点之外，其它所有节点的电压模值。有的也采用发电机节点及具有可调无功补偿设备节点的无功出力作为控制变量，则它们相应的节点电压模值就要改作为状态变量。值得指出的是，在某些最优潮流的文献中，往往将凡可以通过潮流计算而求得的作为状态变量x及控制变量u函数的其它变量，也统称为状态变量。(二)最优潮流的目标函数最优潮流的目标函数可以是任何一种按特定的应用目的而定义的标量函数，目前常见的目标函数如下。(1)全系统发电燃料总耗量(或总费用)式中：NG为全系统发电机的集合，其中包括平衡节点s的发电机组；Ki(PGi)为发电机组Gi的耗量特性，可以采用线性、二次或更高次的函数关系式。NGiGiiPKf)((2)有功网损式中：NL表示所有支路的集合。NLjijiijPPf),()(除此之外，最优潮流问题根据应用场合不同，还可采用其它类型的目标函数，如偏移量最小、控制设备调节量最小、投资及年运行费用之和最小等。由上可见，最优潮流的目标函数不仅与控制变量有关，同时也和状态变量有关，因此可用简洁的形式表示为(三)等式约束条件最优潮流是经过优化的潮流分布，为此必须满足基本潮流方程。这也就是最优潮流问题的等式约束条件。前述用表示的基本潮流方程式由于扰动变量p即负荷一般都是给定的，所以该式可进一步简化表示为0),(xug0),,(puxf(四)不等式约束条件最优潮流的内涵包括了系统运行的安全性及电能质量，另外可调控制变量本身也有一定的容许调节范围，为此在计算中要对控制变量以及通过潮流计算才能得到的其它量(状态变量及函数变量)的取值加以限制。这就产生了大量的不等式约束条件。主要的不等式约束：(1)有功电源出力上下限约束；(2)可调无功电源出力上下限约束；(3)带负荷调压变压器变比K调整范围约束；(4)节点电压模值上下限约束；(5)输电线路或变压器等元件中通过的最大电流或视在功率约束；(6)线路通过的最大有功潮流或无功潮流约束；(7)线路两端节点电压相角差约束，等等。可以将上述的不等式约束条件统一表示为0),(xuh(五)最优潮流的数学模型综上所述，电力系统最优潮流的数学模型可以表示为通过以上讨论可以看到，目标函数f及等式、不等式约束g及h中的大部分约束都是变量的非线性函数，因此电力系统的最优潮流计算是一个典型的有约束非线性规划问题。)1911(0),(0),(..),(minxuhxugtsxufu（一）概述由于电力系统的规模日益扩大，其节点数可以成百上千，最优潮流计算模型中包含的变量数及等式约束方程数极为巨大，至于不等式约束的数目则更多，兼以变量之间又存在着复杂的函数关系，这些因素都导致最优潮流计算跻身于极其困难的大规模非线性规划的行列。寻找能够快速、有效地求解各种类型的大规模最优潮流计算问题，特别是能够满足实时应用的方法，对广大研究者来说，仍然是一个巨大的挑战。已有算法归纳起来可分为线性规划法、非线性规划法、混合规划法、内点法和智能化方法等。三、最优潮流的算法前提：通常把最优潮流问题分解为有功功率和无功功率两个子优化问题，在求解方法上，大都采用分段线性或逐次线性化逼近非线性规划问题，然后利用线性规划方法（如单纯形法、对偶单纯形法）求解。（二）线性规划法特点:目标或约束函数呈现非线性特性。最优潮流作为一个非线性规划问题，可以利用非线性规划的各种方法来求解，更由于结合了电力系统的固有物理特性，在变量的划分、等式及不等式约束条件的处理、有功与无功的分解、变量修正方向的决定、甚至基本潮流计算方法的选择等等方面，都可以有各种不同的方案。为此即使是采用非线性规划方法，也曾出现过为数甚多的最优潮流算法。主要包括简化梯度算法、牛顿法、二次规划法等。（二）非线性规划法1968年,由Dommel和Tinney提出最优潮流计算的简化梯度法。该算法是最优潮流问题被提出以后，能够成功地求解较大规模的最优潮流问题并被广泛采用的第一个算法。最优潮流计算的简化梯度算法是以极坐标形式的牛顿潮流算法作为基础的。下面以该算法为例，详细介绍最优潮流的模型和计算问题。——首先讨论仅计及等式约束条件时算法的构成，然后讨论计及不等式约束条件时的处理方法。1简化梯度算法对于仅有等式约束的最优潮流计算，可以表示为应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等式约束g(u,x)＝0中方程式数同样多的拉格朗日乘子,则构成拉格朗日函数为式中：为由拉格朗日乘子所构成的向量。0),(..),(minxugtsxufu),(),(),(xugxufxuLT(1)仅有等式约束条件时的算法这样便把原来的有约束最优化问题变成了一个无约束最优化问题。采用经典的函数求极值的方法，即将L分别对变量x、u及求导并令其等于零，从而得到求极值的一组必要条件为0TxgxfxL0TugufuL0),(xugL最优潮流的解必须同时满足这三组方程。),(),(),(xugxufxuLT虽然直接联立求解这三个极值条件方程组，可以求得此非线性规划问题的最优解。但通常由于方程式数目的众多及其非线性性质，联立求解的计算量非常巨大，有时还相当困难。因此，简化梯度方法采用的是一种迭代下降算法，其基本思想是从一个初始点开始，确定一个搜索方向，沿着这个方向移动一步，使目标函数有所下降，然后由这新的点开始，再重复进行上述步骤，直到满足一定的收敛判据为止。迭代求解算法的基本要点如下：(1)令迭代记数k=0(2)假定一组控制变量u(0)；(3)由于(3)式就是潮流方程，所以通过潮流计算就可以由已知的u求得相应的x(k)(4)再观察式(1)，就是牛顿法潮流计算的雅可比矩阵J，利用求解潮流时已经求得的潮流解点的J及其LU三角因子矩阵，可以方便地求出xgxfxgT10TxgxfxL0TugufuL0),(xugL(5)将已经求得的u、x及代入式(2)，则有01xfxgugufuLTT0TxgxfxL0TugufuL0),(xugL(6)若，则说明这组解就是待求的最优解，计算结束。否则，转入下一步；0uL(7)这里，为此必须按照能使目标函数下降的方向对u进行修正0uL)()()1(kkkuuu然后回到步骤(3)。这样重复进行上述过程，直到式(2)得到满足，即为止。0uL该算法证明，是在满足等式约束条件（潮流方程）的情况下目标函数在维数较小的u空间上的梯度，所以也称为简化梯度。由于某一点的梯度方向是该点函数值变化率最大的方向，因此若沿着函数在该点的负梯度方向前进时，函数值下降最快，所以最简单方便的办法就是取负梯度作为每次迭代的搜索方向，即取式中c为步长因子。uLu()kuuc在非线性规划中，这种以负梯度作为搜索方向的算法，也称梯度法或最速下降法。前式中步长因子的选择对算法的收敛过程有很大影响，选得太小将使迭代次数增加，选得太大则将导致在最优点附近来回振荡。最优步长的选择是一个一维搜索问题，可以采用抛物线插值等方法。最优潮流的不等式约束条件数目很多，按其性质的不同又可分成两大类：第一类是关于自变量或控制变量u的不等式约束；第二类是关于因变量即状态变量x以及可表示为x的函数的不等式约束条件，这一类约束可以通