24换面法

§1-5换面法1-5-1概述1-5-2点的投影变换规律1-5-3四个基本作图问题1-5-4解题举例1-5-1概述当空间的直线和平面平行于投影面时，它们的投影反映线段的实长和平面的实形；当平面或两平面的交线垂直于投影面时，它们的相对位置关系、交点和交线在投影图上都能得到直接反映。换面法基本概念用更换投影面来改变空间几何元素或空间形体的相对位置的方法，称为换面法。1.在投影图中直接反映点、直线、平面之间距离和夹角的一些情况直线与平面以及两平面之间的相对位置§1-5-2点的辅助投影(换面法)a1’X1V1a1’点是最基本的几何元素，要学会运用换面法解决问题，必须掌握点的投影变换规律。一、点的一次变换变换V面a1’X1V1a1’a’XVHa点的投影变换规律1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投影轴的距离。a1’a1变换H面a1H1a1a’a2二、点的两次变换a2（二）新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。2、新投影面必须垂直于一个不变投影面。返回(一)点的投影变换规律1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投影轴的距离。X1V1a’XVHaa1’a1’（二）新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。2、新投影面必须垂直于一个不变投影面。返回(一)点的投影变换规律1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投影轴的距离。X1V1a’XVHaa1’a1’辅助投影法求一般位置线段的实长及对投影面的倾角∵当直线平行投影面时，它在该投影面上的投影反映它的实长及与另外两投影面的夹角。∴辅助投影法求实长及倾角实质就是将该线段变换为某一投影面的平行线。V1X1a1’b1’平面的辅助投影(换面法)V1X1b1’a1’b1’a’b’abXVH实长α思考变换H面?X1∥aba1’[例]求直线AB的实长和直线与H面的夹角α。分析：变换V面用换面法解点、直线、平面的定位和度量问题有关点、直线、平面的定位和度量问题，常常涉及它们对投影面的相对位置，它们之间的从属关系（如点在直线上，点或直线在平面上等），它们之间的相对位置（如两点的相对位置、两直线的相对位置、直线与平面的相对位置、两平面的相对位置等）。一、将一般位置直线变为投影面平行线1-5-3四个基本作图问题[例]将一般位置直线AB变为新投影面H1的平行线。二、将投影面平行线变为投影面垂直线1-5-3四个基本作图问题[例]将水平线CD变为新投影面V1的平行线。三、将一般位置平面变为投影面垂直面1-5-3四个基本作图问题[例]将一般位置平面△ABC变为新投影面H1的垂直面。四、将投影面垂直面变为投影面平行面1-5-3四个基本作图问题[例]将铅垂面△ABC变为新投影面V1的平行面。例求一般位置线段AB的实长及其对W面的倾角γ，并AB上截取一点E，使AE长为10mm。例.求一般位置线段AB的实长及其对W面的倾角γ，并AB上截取一点E，使AE长为10mm。a1’b1’γ实长作图1.换面求出AB的实长及γ2.在a1’b1’上截取e1’,使a1’e1’=10,并由e1’返回作出e1’’和e1’。e1’e’’e’重作例已知ＡＢ的实长及A’B’，求AB的水平投影ABXHVaa’b’例已知ＡＢ的实长及a’b’，求AB的水平投影ABXHVaa’b’作图1.将AB变换为水平线(X1∥a’b’)2.利用AB的实长及点的投影规律求出b13.求出ba1b1b讨论另一解b1B?返回重作c平面的辅助投影(换面法)一、将一般位置平面变换为投影面垂直面分析将平面内的投影面平行线变换成投影面垂直线后,平面即变为投影面垂直面。H1a1c1b1d1dd'D作图平面的辅助投影(换面法)一、将一般位置平面变换为投影面垂直面H1a1c1b1d1dd'Daa’cbc’b’Xdd’a1c1b1β求α时,作从属于平面上的水平线求β时,作从属于平面上的正平线求γ时,作从属于平面上的侧平线S１例题1求点S到平面ABC的距离SK分析作图(1)将△ＡＢＣ变换成铅垂面,求出ａ1、ｂ1、ｃ1、ｓ1;(2)求出k1；k1(3)求出s’k’和sk；K’K例题2已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e’。nd'de'二、将投影面垂直面变换为投影面平行面V1X1aa’cbb’c’b1’c1’a1’c1’a1’a1’c1’b1’例题1求一般位置平面△ＡＢＣ的实形。d'da2'c2'b2'd1'作图(１)将△ＡＢＣ变换成铅垂面,求出ａ1、ｂ1、ｃ1、d1;(２)将△ＡＢＣ变换成正平面;d'da1'c1'b1'd1'15ee'e1e1'例题4已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。[例1]求图示立体上的正垂面P的实形。1-5-4解题举例[例2]已知一般位置平面△ABC和一般位置直线EF的两个投影，它们是相交关系，试求交点的投影。1-5-4解题举例[例3]已知一般位置平面△ABC的两个投影△a'b'c'和△abc，试求出△ABC的实形。1-5-4解题举例[例4]已知线段AB和线外一点C的两个投影，试求点C至线段AB的距离，并作出过点C对AB的垂线的投影。1-5-4解题举例1-5-4解题举例1-5-4解题举例1-5-4解题举例直线与平面相交•两平面相交一般位置平面与一般位置平面相交三、利用辅助投影求交点和交线a’b’c’bace’f’efd’dd1’f1’e1’a1’b1’c1’n1’l1’lnn’l’作图步骤1.将△ABC变换为正垂面2.求出交线的辅助投影l1’n1’3.求出交线的正面投影和水平投影4.判别可见性例5、求两个一般位置平面相交的交线。a’b’c’bace’f’efd’dd1’f1’e1’a1’b1’c1’n1’l1’lnn’l’1’(2’)123(4)3’4’1.YⅠ＞YⅡ,AB的正面投影可见2.ZⅢ＞ZⅣ,DF的水平投影可见n’a’b’c’bace’f’efd’dd1’f1’e1’a1’b1’c1’n1’k1’knn’k’1’(2’)123(4)3’4’k’例题6：求交叉两直线AB和CD的公垂线MN。dcbaa’d’b’c’分析EDCBAKMNdcbaa’d’b’c’ABCDmnNMabc(d)例题7：求三角形ABC及BCD两平面之间的夹角。dbad’c’b’a’cXABCDθdbad’c’b’a’cXθa1’c1’(b1’)d1’c1’(d1’)b1’(a1’)a’bcd’c’b’daX例题8以DC为直角边作等腰直角△CDE(∠CDE=90)且与ABCD平面垂直。e1’ee’V例题9：已知等边三角形ABC,点C在H面上,求此三角形的两面投影。bab’a’Xa’b’c’ABC