85中心极限定理

问题的提出在第一章提出，人们在长期实践中发现，虽然个别事件在某次实验中可以出现也可以不出现，但是在大量重复试验中却呈现明显的规律性，即一个随机事件出现的概率在某个固定数的附近摆动，即所谓“频率稳定性”，对于这一点，我们将在本章给予理论上的说明。切比雪夫不等式成立。或，不等式，则对于任意正数，方差具有数学期望设随机变量定理22222XPXPXDXEX}{}{)()(切比雪夫不等式的证明2222x22xdxxfx1dxxfxdxxfXPxfX)()()()(}{)(，则有密度函数为的概率设情况来证明。仅就连续性随机变量的证明[注意]切比雪夫不等式可以使我们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件|X-|的概率做出估计。应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。返回依概率收敛的意义一种说法。确定现象中关于收敛的收敛是不”发生。所以说依概率除小概率事件“以不排，但正因为是概率，所”的概率接近于“很大时，事件，当，说明对于任给的收敛于依概率收敛。随机变量序列依概率收敛即依概率ax1axn0aX1nnn}{依概率收敛),(),(),(),(,bagYXgbayxgbYaXpnnpnpn则连续，在点，又设函数设设aYaYYYaYPaYYYpnnnnn，记为依概率收敛于则称序列，有若对于任意正数是一个常数，是一个随机变量序列，设,,,,1lim,,,,2121依概率收敛的性质切比雪夫定理1)(1lim0),2,1()(),2,1()()(,,,,121niiiniiinXEXnPiCXDiXDXEXXX，有，则对任意给定的，且都存在和方差数学期望序列，是相互独立的随机变量设定理切比雪夫定理的特殊情况pniiniinXXnPiXDXEXXX即，有。则对任意给定的差，有相同的数学期望和方序列，是相互独立的随机变量设定理11lim0),2,1()(,)(,,,,1221切比雪夫定理的特殊情况的证明11lim/1111)(111)(11122122212111niinniinkknkknkknkkXnPnXnPnnnXDnXnDnnXEnXnE从而有由切比雪夫不等式可得由于证明伯努利大数定理0pnnP1pnnP0ApAnnAnAnAlimlim或，有率，则对于任意正数在每次试验中发生的概是事件发生的次数，次独立重复试验中事件是设定理了频率的稳定性。的概率这一结论，证明依概率收敛于发生的频率很大时，当伯努利大数定理给出了AnnAnA伯努利大数定理的证明1lim1)(1lim),2,1)(1()(,)()10(,,,212121pnnPpXXXnPkppxDpxEpXXXXXXnAnnnkknnA即有理，则由切比雪夫大数定分布，因而的数为相互独立，且都服从参，其中，因为证明辛钦定理。是辛钦定理的特殊情形显然，贝努里大数定理，有正数，则对任意服从同一分布，且具有序列，是相互独立的随机变量设定理11lim),2,1()(,,,,121niinknXnPkXEXXX大数定律在概率论中的意义大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性，从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性。它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论根据，所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律。返回独立同分布的中心极限定理)1,0(~21lim)(lim)()(),2,1(0)(,)(,,,,2112212NnXndtexYPxFxFnnXnXYxkXDXEXXXtxnnnnnniiniiniin近似的充分大时，即当满足的分布函数，随机变量，则对任意实数：且具有数学期望和方差分布是相互独立，服从同一设定理李雅普诺夫中心极限定理则随机变量时，，使得当若存在正数，记期望和方差：数学是相互独立，它们具有设定理0}{1),2,1(0)(,)(,,,,122122221nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX李雅普诺夫中心极限定理)1,0(~21lim)(lim)()()(211111112NZndtexBXPxFxxFBXXDXEXZntxnniiniinnnnnniiniiniiniiniin近似的充分大时，即当，满足对任意的的分布函数德莫佛——拉普拉斯定理xtnnndtexpnpnpPxppnn2221)1(lim)10(,),2,1(，有意的二项分布，则对于任服从参数为设随机变量定理德莫佛——拉普拉斯定理的证明二项分布的极限分布。定理说明，正态分布是特殊情形。同分布中心极限定理的可见，上述定理是独立限定理知由独立同分布的中心极。分布，有服从其中的二项分布，则令服从参数为由于定理xtnnkkknkknndtexpnpnpPppXDpXEXXppnn21221)1(lim)1()(,)()10()10(,),2,1(中心极限定理的意义我们知道，正态分布是现实生活中使用最多、最广泛、最重要的一种分布。许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布。中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐近地服从正态分布。为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据。大数定律与中心极限定理的异同它们的相同点是，都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要的意义。所不同的是，大数定律研究当时，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限。