第一章函数,第二章极限与连续1

微积分教案第一章函数教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。一、集合1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。1)},,,{321aaaA2)}{PxxA的性质元素与集合的关系：Aa，Aa一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作BA。如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作BA若作BA且BA则称A是B的真子集。全集I：AiI（I=1，2，3，……..）。空集：A。2、集合的运算并集BA：}Ax|{xBABx或交集BA：}Ax|{xBABx且差集BA\：}|{\BxAxxBA且补集（余集）CA：I＼A集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律：ABBAABBA结合律：)()(CBACBA，)()(CBACBA分配律：)()()(CBCACBA，)()()(CBCACBA1对偶律：(cccBABA)cccBABA)(笛卡儿积：A×B}|),{(ByAxyx且3、区间和邻域1）有限区间：开区间),(ba，闭区间ba,，半开半闭区间baba,,。2）无限区间：（,a），,a，,a，,a，,。3）邻域：}{),(axaxaU注：a邻域的中心，邻域的半径；去心邻域记为),(aU。二、映射定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作YXf：其中y称为元素x的像，并记作)(xf，即)(xfy。注意：每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一。三、函数1、函数的概念定义设数集RD，则称映射RDf:为定义在D上的函数，记为Dxxfy,)(。注：函数相等：定义域、对应法则相等。2、函数的几种特性1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。2）函数的单调性（单增、单减），在x1、x2点比较函数值)(1xf与)(2xf的大小（注：与区间有关）。3）函数的奇偶性(定义域对称、)(xf与)(xf关系决定)，图形特点(关于原点、Y轴对称)。4)函数的周期性(定义域中成立：)()(xflxf)3、函数与复合函数1）反函数：函数)(:DfDf是单射，则有逆映射xyf)(1，称此映射1f为f函数的反函数。函数与反函数的图像关xy于对称。22）复合函数：函数)(ygu定义域为D1，函数)(xfy在D上有定义、且1)(DDf。则)())((xfgxfgu为复合函数。3）分段函数：分段函数的统一表达式。结论：对于分段函数f（x）=12()()()()fxxafxxa若初等数函f1（x）和f2（x）满足f1（a）=f2（a），则f（x）=f1[12（x+a-2()xa）]+f1[12（x+a+2()xa）]-f1（a）4、初等函数1）幂函数：axy2)指数函数：xay3)对数函数：)(logxya4)三角函数：)cot(),tan(),cos(),sin(xyxyxyxy5)反三角函数：)arcsin(xy，)arccos(xy)cot()arctan(xarcyxy以上五种函数为基本初等函数。例1已知分段函数22,10,()1,0,2,01.xxfxxxx1）求其定义域并作图；2）求函数值1122(),(0),().fff例2求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：y=10u，u=1+x2,y=arctanu2,u=tanv,v=a2+x2.例3求函数的反函数及反函数的定义域：y=x2,（0x〉，221,01,2(2),12.xxyxx四、经济学中的常用函数1.需求函数需求是指消费者在一定条件下对商品的需要,它受消费者收入；商品的质量、价格；相3关商品的质量、价格等许多因素的影响。这里，把商品的需求量Qd只看作是该商品价格p的函数，记为Qd=f(p)一般的，它是减函数。2.供给函数供给是指在某时期内，生产者在一定条件下愿意并可能出售的产品即商品。商品的供给量Qs也看作是该商品价格p的函数，记为Qs=(p)一般的，它是增函数。3.生产函数生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系.一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素.为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况.4．成本函数总成本函数总成本C是指生产某产品时所需要的成本总额。它是产量Q的函数，记为C(Q)。C(Q)=C0+C1(Q)其中,C0:固定成本，如企业管理费、设备折旧费等；C1(Q):可变成本，如生产该产品所投入的原材料、燃料、动力费用及生产人员的工资等。总成本函数与产量的商，称为平均成本函数，记作QQCQC)()(最简单的成本函数是线性成本函数:bQaQC)(其中，a＞0为固定成本，b0为生产一个单位产品所需的可变成本。5.总收益(总收入)函数总收益R是指产品出售后，所得到的全部收入。它是销量Q的函数，记为R(Q)。(通常假设产销平衡)若产品的单位售价p不变，则R(Q)=pQ若价格p是产量Q的单调减少函数p(Q),则R(Q)=p(Q)Q6.总利润函数利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即产销平衡时，L(Q)=R(Q)-C(Q)7.库存润函数4设某企业在计划期T内，对某种物品总需求量为Q，由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，考虑均匀的分n次进货，每次进货批量为Qqn，进货周期为Ttn.假定每件物品的贮存单位时间费用为1C，每次进货费用为2C，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为2q，在时间T内的总费用E为1212QECTqCq112CTq其中，为储存费2QCq，为进货费用。第二章极限与连续第一节数列的极限教学目的与要求：理解极限的概念，性质。教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。一、数列数列就是由数组成的序列。1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成：nxxxx321缩写为nx例1数列n1是这样一个数列nx，其中nxn1，5,4,3,2,1n也可写为：514131211可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为01limnn。极限的N定义0，N，当Nn时，axn恒成立，则称数列nx的极限为a，记成axnnlim极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。二、收敛数列的性质5定理1如果数列nx收敛，那么它的极限是唯一。定理2如果数列nx收敛，那么数列nx一定有界。定理3如果axnxlim且a0(a0)那么存在正整数N0，当nN时，)0(0nnxx。例2证明数列1nn的极限是1。例3作出数列1(1)nnn图形，讨论其极限值。第二节函数的极限教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。极限的定义一、在0x点的极限1）0x可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在0x有没有定义，以及函数值)(0xf的大小。只要满足：存在某个0使：Dxxxx),(),(0000。2）如果自变量x趋于0x时，相应的函数值)(xf有一个总趋势——以某个实数A为极限，则记为：Axfxx)(lim0。形式定义为：0，0，当00xx时，Axf)(恒成立。ccxxxxfxfxxxxxx000limlimlim00，记住：点是否有定义无关）在（）是否存在与（强调：左极限与右极限重点强调：AxfAxfxxxx）（，）（00limlim结论：AxfxfAxfxxxxxx）（）（）存在且等于（000limlimlim二、x的极限设),()(xxfy，如果当时函数值)(xf有一个总趋势--该曲线有一条水平渐近线Ay--则称函数在无限远点有极限。记为：Axfx)(lim。在无穷远点的左右极限：6)(lim)(xffx，)(lim)(xffx关系为：)(lim)(lim)(limxfAxfAxfxxx例1讨论函数xxy在x0的极限。例2求下面函数极限：limn221nn，)1311(lim31xxx。三、函数极限的性质定理1（函数极限的唯一性）如果0lim()xxfx存在，则这个极限唯一。定理2（函数极限的局部有界性）如果0lim()xxfx存在，那么存在常数0M和0，使得当时00||xx时，有|()|fxM。定理3(函数极限的局部保号性)0lim(),0(0),xxfxAAA若且或则存在常数0，使得当00xx时()0(()0)fxfx或。定理3'0lim()0xxfxA若，则0x存在的某一去心邻0(,),Ux域当0(,)xUx时，()2Afx就有。推论0lim(),0,xxfxA若且当00(,)xUx时，()0(()0),fxfx或0(0).AA或例1证明01limsinxx不存在。证：1,nxn取lim0,nnx0;nx且1,412nxn取lim0,nnx0;nx且71limsinlimsinnnnnx而=0，141limsinlimsin2nnnnx二者不相等,01limsinxx故不存在。第三节无穷小量与无穷大量教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。一、无穷小定义定义对一个数列nx，如果成立如下的命题：0，N，当Nn时，nx恒成立，则称它为无穷小量，即0limnxx注：1）的意义；2）nx可写成0nx；),0(nx；3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的nx与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。定理1在自变量的同一变化过程0xx（或)x中，函数)(xf具有极限A的充分必要条件是Axf)(，其中是无穷小。二、无穷小的性质设nx和ny是无穷小量于是：5）两个无穷小量的和差也是无穷小量：0)(lim0lim0limnnxnxnxyxyx2）对于任意常数C，数列nxc也是无穷小量：0)(lim0limnxnxxcx3）nnyx也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。0)(lim0lim0limnnxnxnxyxyx4）nx也是无穷小量：0lim0lim00nxxnxxxx85）无穷小与有界函数的积为无穷小。三、无穷大定义一个数列nx，如果成立：0G，N，当Nn时，Gxn恒成立，那么称它为无穷大量。记成：nxxlim。特别地，如果0G，N，当Nn时，Gxn恒成立，则称为