题型专题(十一) 等差数列与等比数列

主要考查基础知识、基本技能，应用所学分析解决问题的能力题型专题（十一）等差数列与等比数列——用公式、建方程、求未知(1)两组求和公式①等差数列：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d；②等比数列：Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q(q≠1)．(2)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量.考点一：等差数列、等比数列的基本运算[典例](1)(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()A.172B.192C．10D．12[解析]∵公差为1，∴S8＝8a1＋8×8－12×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋4×4－12×1＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝12，∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝192.[答案]B(2)(2015·湖南高考)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.[解析]因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得a3a2＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1.[答案]3n－1方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1，d(或q)，n，an与Sn这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a1和d(或q)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．(2015·重庆高考)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝92.(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.[即时应用]解：(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得a1＋2d＝2,3a1＋3×22d＝92，化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝32，解得a1＝1，d＝12，故{an}的通项公式an＝1＋n－12，即an＝n＋12.(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝15＋12＝8.设{bn}的公比为q，则q3＝b4b1＝8，从而q＝2，故{bn}的前n项和Tn＝b11－qn1－q＝1×1－2n1－2＝2n－1.——常用方法有四种，题型不同分侧重1.等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．考点二：等差数列、等比数列的判定与证明(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．2.等比数列的四个判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.[典例](2015·广东高考)设数列an的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝32，a3＝54，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：an＋1－12an为等比数列；(3)求数列an的通项公式．[解](1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即41＋32＋54＋a4＋51＋32＝81＋32＋54＋1，解得a4＝78.(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．∵4a3＋a1＝4×54＋1＝6＝4a2，即n＝1时也满足上式，∴4an＋2＋an＝4an＋1，n∈N*，∴an＋2－12an＋1an＋1－12an＝4an＋2－2an＋14an＋1－2an＝4an＋1－an－2an＋14an＋1－2an＝2an＋1－an22an＋1－an＝12，∴数列an＋1－12an是以a2－12a1＝1为首项，12为公比的等比数列．(3)由(2)知，an＋1－12an＝12n－1，即an＋112n＋1－an12n＝4.∴数列an12n是以a112＝2为首项，4为公差的等差数列，∴an12n＝2＋4(n－1)＝4n－2，即an＝(2n－1)·12n－1，∴数列an的通项公式为an＝(2n－1)·12n－1.巧造等差或等比判定方法(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法；(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可；(3)a2n＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(2015·河北省五校联考)已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝anan＋12(n∈N*)．(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝1Sn，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.[即时应用]解：(1)证明：Sn＝anan＋12(n∈N*)，①Sn－1＝an－1an－1＋12(n≥2)．②①－②得：an＝a2n＋an－a2n－1－an－12(n≥2)，整理得：(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋an－1)(n≥2)．∵数列{an}的各项均为正数，∴an＋an－1≠0，∴an－an－1＝1(n≥2)．当n＝1时，a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)得Sn＝n2＋n2，∴bn＝2n2＋n＝2nn＋1＝21n－1n＋1，∴Tn＝211111111223341nn＋＋＝21－1n＋1＝2nn＋1.——数列性质应活用，运算快捷轻巧功等差数列等比数列性质(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(2)an＝am＋(n－m)d(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；(2)an＝amqn－m；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sn≠0)考点三：等差数列、等比数列的性质[典例](1)(2015·唐山统考)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4S2＝3，则S6S4＝()A．2B.73C.310D．1或2[解析]设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴S6S4＝7k3k＝73.[答案]B(2)(2015·贵阳监测)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1＋an1－an(n∈N*)，则该数列的前2015项的乘积a1·a2·a3·…·a2015＝________.[解析]由题意可得，a2＝1＋a11－a1＝－3，a3＝1＋a21－a2＝－12，a4＝1＋a31－a3＝13，a5＝1＋a41－a4＝2＝a1，∴数列{an}是以4为周期的数列，且a1·a2·a3·a4＝2×(－3)×－12×13＝1.而2015＝4×503＋3，∴前2015项乘积为a1a2a3＝3.[答案]3(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解；(2)数列是一种特殊函数，具有函数的一些性质，如周期性、单调性(如本例(2)，应用1)．1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)SnnSn＋1(n∈N*)．若a8a7－1，则()A．Sn的最大值是S8B．Sn的最小值是S8C．Sn的最大值是S7D．Sn的最小值是S7[即时应用]解析：由(n＋1)SnnSn＋1，得(n＋1)·na1＋an2n·n＋1a1＋an＋12，整理得anan＋1，所以等差数列{an}是递增数列，又a8a7－1，所以a80，a70，所以数列{an}的前7项为负值，即Sn的最小值是S7.答案：D2．(2015·兰州诊断)数列{an}的首项为a1＝1，数列{bn}为等比数列，且bn＝an＋1an，若b10b11＝2015110，则a21＝________.解析：由bn＝an＋1an，且a1＝1，得b1＝a2a1＝a2.b2＝a3a2，a3＝a2b2＝b1b2，b3＝a4a3，a4＝a3b3＝b1b2b3，…，an＝b1b2…bn－1，∴a21＝b1b2…b20.∵数列{bn}为等比数列，∴a21＝(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝(b10b11)10＝201511010＝2015.答案：2015主要考查迁移思维、数学素养，多角度、创造性地思考和解决问题的能力数列与其他知识的交汇点数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用.[典例]已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式an＝________.[解析]由题意知，an＋1＝f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n＋1，则an＋12n＋1＝an2n＋1，所以an2n是首项为1，公差为1的等差数列，所以an2n＝n，an＝n·2n.[答案]n·2n本题利用抽象函数的性质把函数问题转化为数列问题，即an＋1＝2an＋2n＋1，利用关系式判断an2n为等差数列，问题得以解决．1．(2015·辽宁五校联考)抛物线x2＝12y在第一象限内图象上一点(ai,2a2i)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai＋1，其中i∈N*，若a2＝32，则a2＋a4＋a6等于()A．64B．42C．32D．21[即时应用]解析：令y＝f(x)＝2x2，则切线斜率k＝f′(ai)＝4ai，切线方程为y－2a2i＝4ai(x－ai)．令y＝0，得x＝ai＋1＝12ai.由a2＝32，得a4＝8，a6＝2，所以a2＋a4＋a6＝42.答案：B2．(2015·山西四校三联)设数列{an}满足a2＋a4＝10，点Pn(n，an)对任意的n∈N*，都有向量1nnPP＋＝(1,2)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.解析：∵Pn(n，an)，∴Pn＋1(n＋1，an＋1)，∴1nnPP＋＝(1，an＋1－an)