直线与方程课件

基础梳理1.直线的倾斜角与斜率①定义：直线向上的方向与x轴正方向所成的角,叫做直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00.②倾斜角的范围为0°≤α1800(2)直线的斜率①当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足.k=tanα(α≠900)(1)直线的倾斜角)x(xxxyyk211212②已知两点P（x1,y1）,Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率为③斜率图象：ok2(2)直线的斜率名称方程适用范围点斜式不含与x轴垂直的直线（x=x1）斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含与x轴垂直的直线x=x1和与y轴垂直的直线y=y1截距式不含与坐标轴垂直和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的任意一条直线都适用121121xxxxyyyy1byaxy-y1=k(x-x1)y=kx+bAx+By+C=0(A2+B2≠0)[解]当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为α＝90°.当m≠1时，由斜率公式可得k＝3－2m－1＝1m－1.①当m＞1时，k＝1m－1＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°＜α＜90°.②当m＜1时，k＝1m－1＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°＜α＜180°.[例1]求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．典例分析题型一直线的倾斜角和斜率题型一直线的倾斜角和斜率分析先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围.【例2】求直线xcosα++2=0的倾斜角的取值范围。y3解因为直线xcosα++2=0,所以直线的斜率为k=.设直线的倾斜角为β,则tanβ=.又因为,即所以.y33cosα3cosα333cosα3333βtan33，π65π6π0，β典例分析题型一直线的倾斜角和斜率【例2】求直线xcosα++2=0的倾斜角的取值范围。y3求倾斜角范围的步骤是：（1）求出斜率的取值范围；（2）利用正切函数的单调性，结合图象，确定倾斜角的取值范围。1.直线xcosθ+y-1=0(θ∈R)的倾斜角的取值范围是.举一反三解析:设倾斜角为α,则k=tanα=-cosθ.∵θ∈R,-1≤-cosθ≤1,即-1≤tanα≤1,∴α∈π，π434π0，题型二求直线的方程【例3】求下列直线l的方程.(1)过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是;(2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1：3x+4y+10=0的倾斜角的一半。53分析由已知条件求出直线的斜率，然后用适当形式写出直线的方程.534343解（1）设直线l的倾斜角为α,则sinα=,∴tanα=±,∴l的方程为y=±x+2,即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.题型二求直线的方程【例3】求下列直线l的方程.(2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1：3x+4y+10=0的倾斜角的一半。解(2)设直线l和l1的倾斜角分别为α、β，则有α=又tanβ=-,∴tanβ=tan2α==-,解得tanα=3或tanα=.∵＜β＜π,∴＜α=＜,∴tanα＞0.∴tanα=舍去，∴tanα=3.由点斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.2π4π2β2π312β43αtan-1α2tan23143[解]由题意知，直线l的斜率存在．设直线为y＋4＝k(x＋5)，交x轴于点(4k－5，0)，交y轴于点(0，5k－4)，S＝12×|4k－5|×|5k－4|＝5，得25k2－30k＋16＝0(无实根)，或25k2－50k＋16＝0，解得k＝25，或k＝85，所以所求直线l的方程为2x－5y－10＝0，或8x－5y＋20＝0.[例4]过点A(－5，－4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．题型二求直线的方程举一反三2．已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6，－2)，求直线l的方程．解：设直线l在y轴上的截距为b，则其在x轴上的截距为b＋1，设其方程为xb＋1＋yb＝1.由于直线l过点(6，－2)，所以6b＋1＋－2b＝1，b＝1或b＝2.所以直线l的方程为x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0.3.设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.举一反三解析：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等，∴a=2,方程即为3x+y=0；当直线不过原点时，∵截距存在且均不为0，∴=a-2,即a+1=1,∴a=0,方程即为x+y+2=0.1a2a[点评]求直线方程的方法及方程形式的选择(1)待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法．(2)方程形式的选择；已知一点通常选择点斜式（要考查斜率不存在的情况）；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式．