电磁场与电磁波矢量分析亥姆霍兹定理

电磁场与电磁波第一章矢量分析§1.1矢量表示法和代数运算§1.2通量与散度,散度定理§1.3环量与旋度,斯托克斯定理§1.4方向导数与梯度,格林定理§1.5曲面坐标系§1.6亥姆霍兹定理第一章矢量分析电磁场与电磁波第一章矢量分析§1.1矢量表示法和代数运算一、矢量表示法及其和差矢量A的表示：zyxAzAyAxAˆˆˆA矢量的模：222xyzAAAAA矢量的单位矢量：ˆˆˆˆˆˆˆcoscoscosyxzAAAAAxyzAAAAxayz两个矢量的对应分量相加或相减：)(ˆ)(ˆ)(ˆzzyyxxBAzBAyBAxBA电磁场与电磁波第一章矢量分析二、标量积和矢量积1、标量积(点乘)ABaBABAcos1ˆˆˆˆˆˆ0ˆˆˆˆˆˆzzyyxxxzzyyx意义：一个矢量的模与另一个矢量在该矢量上的投影的乘积。注意：2、矢量积(叉乘)ABaBAnBAsinˆ2222xxyyzzxyzABABABABAAAAAA直角坐标系中的计算公式：nˆ其中：方向与A,B成右手螺旋关系电磁场与电磁波第一章矢量分析意义：A和B矢量所围成的平行四边形面积。yxzxzyzyxzzyyxxˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ0ˆˆˆˆˆˆ注意：直角坐标系中的计算公式：ˆˆˆˆˆˆ()()ˆˆˆ()()()xyzxyzyzzyzxxzxyyxABxAyAzAxByBzBxABAByABABzABABzyxzyxBBBAAAzyxBAˆˆˆ记为：电磁场与电磁波第一章矢量分析三、三重积1、标量三重积)()()(BACACBCBA意义：平行六面体的体积。2、矢量三重积为)()()(BACCABCBA电磁场与电磁波第一章矢量分析§1.2通量与散度,散度定理一、通量面元:dsnsdˆnˆ是面元的法线方向单位矢量其中：nˆ的取向问题:对开曲面上的面元,设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的,则当选定绕行l的方向后,沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是的方向对封闭曲面上的面元,取为封闭面的外法线方向。nˆnˆ电磁场与电磁波第一章矢量分析通量定义：矢量A沿有向曲面S的面积分，称为矢量A沿有向曲面S的通量ssdsnAsdAˆ如果S是一个封闭面,则通量为：SsdA若Ψ＞0,表示有净通量流出,这说明S内必定有矢量场的源;若Ψ＜0,表示有净通量流入,说明S内有洞(负的源)。通过封闭面的电通量Ψe等于该封闭面所包围的自由电荷Q。若Q为正电荷,Ψe为正,有电通量流出;反之,若Q为负电荷,则Ψe为负,有电通量流入。电磁场与电磁波第一章矢量分析二、散度1、散度(divergence)定义：如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场A在P点的散度。0limSVAdsdivAVDD®×=ò2、散度的物理意义矢量的散度是一个标量散度代表矢量场的通量源的分布特性矢量的散度代表的是其通量的体密度电磁场与电磁波第一章矢量分析•A=0(无源）•A=0(负源)•A=0(正源)哈密顿(W.R.Hamilton)引入倒三角算符表示下述矢量形式的微分算子散度计算公式：zzyyxxˆˆˆAdivAzAyAxAAzAyAxzzyyxxAzyxzyx)ˆˆˆ(ˆˆˆ电磁场与电磁波第一章矢量分析三、散度定理n1=-n2n1n2VsdAdvA散度定理：矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量，也称为高斯定理电磁场与电磁波第一章矢量分析例1.1点电荷q在离其r处产生的电通量密度为2221/23ˆˆˆ,,()4qDrrxxyyzzrxyxrp==++=++求任意点处电通量密度的散度▽·D，并求穿出r为半径的球面的电通量[解]zyxDzDyDxzyxzzyyxxqDˆˆˆ)(ˆˆˆ42/32225222/522222/32222/322234)(3)(14)(4rxrqzyxxzyxqzyxxxqxDx电磁场与电磁波第一章矢量分析52252234,34rzrqzDryrqyDzy0)(33452222rzyxrqzDyDxDDzyx结论：除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散度均为零qrrqdsrqdsrrrqsdDssse2223444ˆ4证明在此球面上所穿过的电通量的源正是点电荷q。e电磁场与电磁波第一章矢量分析§1.3环量与旋度,斯托克斯定理一、环量矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为lldA二、旋度1.环量密度把封闭曲线收小,使它包围的面积ΔS趋近于零,取极限0limlSAdlSDD®×ò意义：环量的面密度注意：该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有关电磁场与电磁波第一章矢量分析2.旋度矢量A的旋度是一个矢量,其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度,其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,该面元矢量的方向SldAnACurllSmax0][limˆAAcurlyAxAzxAzAyzAyAxAzAyAxzzyyxxAxyzxyzzyxˆˆˆ)ˆˆˆ(ˆˆˆzyxAAAzyxzyxAˆˆˆ电磁场与电磁波第一章矢量分析三、斯托克斯定理矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和clsldAsdA)(此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式电磁场与电磁波第一章矢量分析例1.3自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为2/3222030)(ˆˆˆ44zyxzzyyxxqrrqE求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。[解]03333333330ˆˆˆ4ˆˆˆ4xyzqExyzxyzrrrqzyxzyxxyzyrzrzrxrxryrpepe抖?汛=抖?禳轾轾轾镲骣骣骣骣骣骣抖抖抖镲鼢鼢鼢珑珑珑犏犏犏=-+-+-鼢鼢鼢睚珑珑珑鼢鼢鼢珑珑珑犏犏犏镲桫桫桫桫桫桫抖抖抖臌臌臌镲铪电磁场与电磁波第一章矢量分析因535333ryzryzryzrzy可见,向分量为零;同样,向和向分量也都为零。xˆyˆzˆ0E结论：点电荷产生的电场是无旋场电磁场与电磁波第一章矢量分析§1.4方向导数与梯度,格林定理一、方向导数与梯度标量场φ(x,y,z)在某点沿l方向的变化率称为φ沿该方向的方向导数l/lˆ注意：方向导数大小与方向有关PNleMne1、方向导数2、梯度大小：最大方向性导数方向：最大方向性导数所在的方向标量场φ(x,y,z)在P点的梯度是一个矢量电磁场与电磁波第一章矢量分析定义标量场▽φ(x,y,z)在点P(x,y,z)处的梯度(gradient)为nngradˆ由方向性导数的定义可知：沿等值面法线的方向性导数最大。nˆlgradlˆzzyyxxgradˆˆˆ在直角坐标系中梯度的计算公式电磁场与电磁波第一章矢量分析例1.6在点电荷q的静电场中,P(x,y,z)点的电位为2220,4),,(zyxrrqzyx求P点的电位梯度▽φ。解：3001(,,)44qqxyzrrrE31RRR已知：电磁场与电磁波第一章矢量分析§1.5曲面坐标系一、圆柱坐标系三者总保持正交关系,并遵循右手螺旋法则:zˆˆˆ矢量A在柱坐标系中可用三个分量表示为zAzAAAˆˆˆ对任意的增量dρ,dφ,dz,P点位置沿,,方向的长度增量(长度元)分别为ˆˆzˆ电磁场与电磁波第一章矢量分析dzdlddlddlz,,与三个单位矢量相垂直的三个面积元和体积元分别是dddldldsdzddldldsdzddldldszzzdzdddldldldvz电磁场与电磁波第一章矢量分析二、球面坐标系ˆˆˆr矢量A在球坐标系中可表示为AAArArˆˆˆ,,sinrdldrdlrddlrdqfqqf===对任意的增量dr,dθ,dψ,P点位置沿,,方向的长度增量(长度元)分别为rˆˆˆ电磁场与电磁波第一章矢量分析球坐标中三个面积元和体积元分别为rdrddldldsdrdrdldldsddrdldldsrrrsinsin2dddrrdldldldvrsin2三、三种坐标的变换及场论表示式电磁场与电磁波第一章矢量分析zzˆ1ˆˆsin1ˆ1ˆˆrrr例1.7在一对相距为l的点电荷+q和-q(电偶极子)的静电场中,距离rl处的电位为cos4),,(20rqlr求其电场强度E(r,θ,φ)。解sin4ˆcos42ˆsin1ˆ1ˆˆ),,(3030rqlrqlrrrrrrE电磁场与电磁波第一章矢量分析§1.6亥姆霍兹定理一、散度和旋度的比较(1)矢量场的散度是一个标量函数,而矢量场的旋度是一个矢量函数。(2)散度表示场中某点的通量密度,它是场中任一点通量源强度的量度;旋度表示场中某点的最大环量强度,它是场中任一点处旋涡源强度的量度。(3)散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定；旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定yAxAzxAzAyzAyAxAzAyAxzzyyxxAxyzxyzzyxˆˆˆ)ˆˆˆ(ˆˆˆzAyAxAAzyx电磁场与电磁波第一章矢量分析二、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理的简化表述如下:若矢量场F在无限空间中处处单值,且其导数连续有界,而源分布在有限区域中,则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。并且,它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和,即AF在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件（矢量A唯一地确定）亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。电磁场与电磁波第一章矢量分析