电磁场有限元分析(数学基础)

工程电磁场数值分析（数值法的数学基础）华中科技大学电机与控制工程系陈德智2010.12第3章数值法的数学基础—加权余量法1.函数空间2.基函数3.权函数4.加权余量法5.变分法简介1.函数空间关于函数空间的几个概念粗浅的解释n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有限自由度系统过渡到无穷自由度系统，用无限维空间描述。函数是指两个数集之间所建立的一种对应关系。泛函则建立两个任意集合之间的某种对应关系。函数空间：具有某种共同特性的一类函数所构成的集合。不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量。把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子或算符。2.基函数若函数空间D中存在一组函数，使得D中任意一个函数都能表示成的线性组合，则称为函数空间D中的一组基（或基底）；称基函数。若n为有限值，称D为有限维函数空间；否则称无限维函数空间。n称为函数空间的维数。{,1,2,3,,}iin{}i{}ii基函数的性质：完备性：——足够的线性无关性：——没有多余的正交性：——彼此不但独立，而且毫无交叠基函数的例子幂函数（多项式）：有限区域内，任一无限可导的函数可以借助于Taylor公式展开为幂级数形式0()()iiifxcxx()[cos()sin()]iiifxcxdx()0()!iifxci三角函数：周期为2p的周期函数可以展开为Fourier级数形式j()ekxkkfxa或函数逼近：对于函数类A中给定的函数f(x)，要求在另一类较简单的且便于计算或处理的函数类B中寻找一个函数p(x)，使p(x)与f(x)之差在某种度量意义下最小。逼近的方法：选定一组基底，构造逼近函数设法利用已知条件确定系数。0()()niiipxax{}iia插值已知函数若干采样点的逼近(1)—插值若选用多项式基底，构造逼近函数：令p(x)满足：求解方程可以确定系数。0()niiipxax{}ixia()(1,2,,7)jjpxfj逼近曲线严格通过采样点。方程个数与未知数个数相等；基函数线性无关，保证方程有唯一的解。拟合已知函数若干采样点的逼近(2)—拟合若选用多项式基底，构造逼近函数：令p(x)满足：求解方程可以确定系数。01()pxaax{}ixia()(1,2,,7)jjpxfj逼近曲线不通过采样点，而使整体误差最小。方程个数多于未知数个数，求得最小二乘解；基函数线性无关。已知若干采样点的两种逼近:—插值与拟合无法简单的说哪种更好。插值可保证采样点的精确；而拟合对采样误差有更好的鲁棒性。基函数有多种选择，如三角函数、指数函数。线性无关保证方程有唯一解；完备性保证了逼近的相似程度。“好”基函数的标准：简单，易计算，易解释，个数少。基函数的选择对于逼近的精度和效率至关重要！整域基与分域基整域基：在整个区域上都有定义的基函数，如三角函数和幂函数。分域基：只在部分区域上有定义（不为0）的基函数，例如分段逼近使用的基函数。也称局域基。常用的分域基采样函数d(x)线性插值样条函数基小波函数基极端的分域基—d函数0()niiipxfdd00()niiipxf线性逼近和样条逼近10()niiipxf20()niiipxa分段线性插值使用的基函数在区间(xi,xi+1)上，使用直线段p1(x)插值逼近函数f(x)，有111()()iiiiiiffpxfxxxx1(,)iixxx或定义11111()iiiiiiiixxxxpxffxxxx11iiiixxxx1(,)iixxx11iiiixxxx那么1(,)iixxx111()iiiipxff扩展一下定义:11111111(,)(,)0(,)iiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxx0(,)nxxx那么在整个区间上，有10()niiipxf在上述逼近公式中，各基函数的系数刚好为被逼近函数在插值点的函数值，这样的基函数称为插值的基函数。整域基的优缺点：优点：全局有统一的表达式，能反映函数的全局变化规律及对参数的依赖关系；便于整体处理；逼近函数全局光滑可导；更适合光滑函数的逼近。缺点：全局关联，牵一发动全身，不方便；求解矩阵为满阵，计算量大；龙格现象；对基函数的要求严格分域基的优缺点：优点：局部关联，灵活方便；计算量小；没有龙格现象；基函数选择自由度大。更适合不光滑函数的逼近。缺点：没有全局统一表达式；函数必须分段（或分域）处理；函数只在局部光滑可导。自己构造基函数的应用实例——回旋加速器主磁铁修正权的概念3.权函数（weightfunction）iiiswu()()dswxuxx加权求积(,)()()dfgfxgxx内积正交(,)0fg带权正交()()()d0wxfxgxx范数22(,)()dffffxx4.加权余数法（weightedresidualmethod）基本思想：考虑算子方程用作为该方程的近似解（试探解）：代入方程的误差（余量）：()Luf1niiiuu()RLuf(,)[()]d0iiwRwLuf(1,2,,)in如果余量R＝0，则为精确解。加权余量法的任务是设法使R为0或者尽量小。方法是选择另一套基底为权函数，使得u{,1,2,,}iwin加权余数法如果上式对所有的i都成立，并且和都是线性无关的和完备的，那么就保证余量R为0，从而就是原算子方程的解。{}i{}iwu如果和不是完备的，那么余量R只能近似为0，从而得到原算子方程的近似解。{}i{}iw剩下的问题就是确定系数。可以看到和的线性无关性对于唯一地确定系数是必要的。{}i{}iw{}i(,)[()]d0iiwRwLuf(,)[()]d0iiwRwLuf(1,2,,)in设L为线性算子，代入，得11[()]d[()]d0nnijjijjjjwLfwLf1niiiu或(1,2,,)in1()ddnjijijwLwf对于确定的权函数与基函数，积分是确定的，因此只有系数是未知量，上式成为一个代数方程：{}i{}iwj记diibwf,()dijijKwL加权余量法是通过余量与权函数的正交化过程，把一个算子方程（微分方程或积分方程）转化为一个可以利用计算机求解的线性代数方程组。在此过程中，对权函数与基函数的选择没有任何的限制，未知数也可以表达非常不同的含义，从而留下了任人发挥的广阔空间，使它成为各种数值方法的公共基础。i(1,2,,)in,1nijjijKb或者写为Kαb加权余数法伽辽金（Galerkin）加权余数法在加权余数法中，取权函数等于基函数，即为著名的Galerkin法。Galerkin法具有精度高、适应性强、便于实施等优点。它与分域基的思想联合，即成为有限元法的基础。5.变分法简介泛函极值问题的提法：铅垂平面上，一小球在重力作用下从A点下滑至B点，求所需时间最短的运动轨迹。2vgy2d1dsyx1201d2xyTxgy2d1dd2sytxvgy微元弧长：即时速度：时间微元：总时间：(,)0Tyyd求使T最小的函数y=y(x)，即变分问题：设，代入泛函得欲使F取极小值，需整理得5.变分法简介变分原理：设L为对称正定算子，算子方程存在解，其充分必要条件为泛函在处取极小值。01niiiu()Luf0uu1()()dd2FuuLuuf0uu1111()()dd2nnnijijiiijiFuLf/0iF1()ddnjijijLf上述方程与基于Galerkin加权余量法得到得方程是一致的。这种基于变分原理的解题方法称为变分法或里兹（Ritz）法。1()ddnjijijLf变分法的核心在于把一个微分方程转化为等价的变分问题（泛函极值问题）。对于正定对称算子，等价变分问题是存在的，但是有些问题无法找到等价变分问题，因而应用收到限制。5.变分法简介泛函的物理含义：以静电场Laplace方程为例，由格林定理，泛函它表示电场的势能。因此泛函极值问题表达了电场的分布要符合这样的一种原则：整个电场的势能达到最小。这称为静电场的Thomson原理，与光学中的Ferma原理、粒子动力学的Hamilton原理齐名。201()()dd2FuuLuuf5.变分法简介2()ddVSVS221()d2111()dd22SFS作业：利用Galerkin法求解常微分方程边值问题取权函数等于基函数分别以二级或三级近似（即展开式取2项或3项）求解上述边值问题，并与准确解比较。22d()01d(0)(1)0uLuuxxxuu23123()(1),()(1),()(1)xxxxxxxxx*sinsin1xux二级近似的Mathemathica实现：Mathemathica程序：Integratew1Lu2,x,0,1b1Integratew1fx,x,0,13202a1a2112Integratew2Lu2,x,0,1b1Integratew2fx,x,0,1142063a152a2120Solve3202a1a2112,142063a152a2120,a1,a2a171369,a2741Mathemathica程序：U27136917412;PlotUx,U2,x,0,1a171369,a27410.20.40.60.810.010.020.030.040.050.060.07Ux_:SinxSin1xMathemathica程序：0.20.40.60.81-0.0002-0.00010.00010.00020.0003PlotUxU2,x,0,1三级近似自行完成