多边形和圆的初步认识(基础)

让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第1页共8页多边形和圆的初步认识（基础）知识讲解撰稿：孙景艳审稿：吴婷婷【学习目标】1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；2.在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形；3.能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数；4．在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力.【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2．相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．要点诠释：(1)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为(3)2nn．(2)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．3.多边形的分类:（1）凸多边形：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第2页共8页侧，那么这个多边形就是凸多边形，如下图．要点诠释：①如果没有特别说明，平时所说的多边形都是凸多边形．②凸多边形按边数的不同又可分为三角形、四边形、五边形、六边形等．（2）凹多边形：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如下图：要点二、圆及扇形1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径.②圆指的是圆周，而不是圆面.③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.2.扇形（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作»AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”.如下图：凸多边形凹多边形让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第3页共8页（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.要点诠释：（1）圆可以分割成若干个扇形.（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.如上图，∠AOB是⊙O的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.（3）与扇形有关的计算半径为R的圆中：n°的圆心角所对的扇形面积公式：；n°的圆心角所对的扇形弧长公式：180nRl.要点诠释：在扇形中，扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角n°，扇形的弧长l这四个量知道其中的两个量就可以求出其他量.【典型例题】类型一、多边形及正多边形1．如图，（1）从正六边形的顶点A出发,可以画出条对角线，分别用字母表示出来为；（2）这些对角线把六边形分割成个三角形.【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可.【答案】（1）3，线段AC、线段AD、线段AE；（2）4.【解析】如下图，很容易得出答案.【总结升华】(1)n边形有n个顶点,n条边,n个内角.(2)过n边形的每一个顶点有(n－3)条对角线,n边形总共(3)2nn条对角线.(3)n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割（n－2）个三角形.举一反三：EABCFD让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第4页共8页【变式】过某个多边形的一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成5个三角形,这个多边形是边形，它的对角线共条.【答案】七，14.类型二、圆2．在下列说法中：①圆心决定圆的位置；②半径决定圆的大小；③半径相等的圆是同心圆；④两个半径相等且圆心不同的圆是等圆，你认为正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】对照圆的定义及同心圆、等圆的概念进行判断.显然①②④正确，③不正确.【总结升华】考查确定圆的条件，同心圆、等圆的定义.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（）⑴各边都相等的多边形是正多边形；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷顶点在圆周上的角叫圆心角.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B提示：⑵、⑶正确.类型三、扇形3.将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．【答案与解析】解：这三个圆心角的度数分别为：°°236080234；°°3360120234；°°4360160234.圆的面积29r，这三个圆心角的面积分别为：8092360；12093360；16094360．这三个圆心角的面积之比为：2:3:42：3：4．发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n与360的比，即S扇：S圆＝n：360，几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比．举一反三：【变式】若扇形的半径为6，面积为10π，则扇形的圆心角的度数为．【答案】100°4.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积及周长分别为多少？让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第5页共8页【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r就是这个正方形的边长，即r2＝边长2＝120平方厘米．【答案与解析】解：设扇形所在圆的半径为r，则216r，则：扇形的面积为：1203.141616.75360（平方厘米）4r（厘米）扇形的弧长为：1203.1488.37360（厘米）扇形的周长为：弧长＋2r＝16.37（厘米）答：这个扇形的面积为16.75平方厘米，周长为16.37厘米．【总结升华】此题在求面积时用到了整体代换，此外注意扇形的周长等于扇形的弧长与直径的和．举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．【巩固练习】一、选择题1.下列几何图形中，平面图形的个数为（）个.①三角形，②圆，③圆柱，④圆锥，⑤正方体，⑥扇形.A.4B.5C.3D.62．从n边形的一个顶点出发共有对角线().A．(n-2)条B．(n-3)条C．(n-1)条D．(n-4)条3．如图，图中凸四边形有().A．3个B．5个C．2个D．6个让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第6页共8页4．下列图形中，是正多边形的是().A．三条边都相等的三角形B．四个角都是直角的四边形C．四边都相等的四边形D．六条边都相等的六边形5．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）.A．1个B．2个C．3个D．无数个6.如下图，两个同心圆（部分）的半径为18厘米和30厘米，又已知圆心角为30度，则阴影部分的面积为（）平方厘米.A.27πB.75πC.48πD.25π二、填空题7．在有对角线的多边形中，边数最少的是________边形，它共有________条对角线．8.已知圆的半径，可以画____个圆；已知圆心，可以画____个圆；已知圆心和半径可以画_____个圆.9.一个圆的圆心决定这个圆的_________，圆的半径决定这个圆的_________．10．已知扇形圆心角是150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为________．11．如图，某传送带的一个转动轮的半径为40cm，转动轮转90°传送带上的物品A被传送厘米.12．如图所示，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为________cm2(结果保留π)．三、解答题13.已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第7页共8页14．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．15.如图，已知，直角三角形AOB的底是5cm，高是4.8cm．并且阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积小3.7cm2．求扇形圆心角∠1的度数．【答案与解析】一、选择题1．【答案】C；【解析】①⑥②为平面图形.2.【答案】B；3.【答案】A；【解析】凸四边形有：四边形ABCD,四边形ABOD，四边形ABCO.4.【答案】A；【解析】正多边形的概念.5.【答案】A；【解析】以定点为圆心，定长为半径作圆，只能作一个，故选A.6.【答案】C；【解析】2230(3018)48360gg.二、填空题7.【答案】四，2；【解析】边数最少的多边形是三角形，三角形没有对角线.8.【答案】无数；无数；1；【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可．9.【答案】位置，大小；10.【答案】240πcm2；【解析】先由弧长求出扇形的半径，再计算扇形的面积．11．【答案】20π；【解析】904020180180nrl(cm)．12．【答案】3π；【解析】由扇形面积公式得2212033360360nRS扇形(cm2)．三、解答题让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第8页共8页13.【解析】解：由题意n-3＝4，n＝7．设各边长为x-3，x-2，x-1，x，x+1，x+2，x+3，则有：x-3+x-2+x-1+x+x+1+x+2+x+3＝56，7x＝56，x＝8．∴各边长为5，6，7，8，9，10，11．14.【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意，有：n＝2(n-3)，解得n＝6，故这个多边形的边数为6．15.【解析】解：5×4.8÷2=12（平方厘米），所以：S扇形=12+3.7=15.7（平方厘米），设圆心角的度数是n度，则：2515.7360nn=15.7×360÷（25π）＝72，答：圆心角为72度．