第二章 现代信号处理方法

第二章现代信号处理方法2.1引言2.2随机过程的基本概念2.3平稳随机过程2.4高斯过程2.5非平稳信号处理方法2.6现代信号处理方法的应用－第二章现代信号处理方法－22.1引言确定性信号和随机信号是信号处理技术中涉及的两大类信号。确定性信号：其每个时间点上的值可以用某个数学表达式或图表唯一地确定的信号。随机信号：不能用一个确切的数学公式来描述，因而也不能准确地预测。随机信号只能用统计的方法进行描述，只能在一定的准确性（accuracy）或可信性（confidence）范围内进行预测。－第二章现代信号处理方法－3随机信号或随机过程(randomprocess)普遍存在。任何确定性信号经过测量后往往就会引入随机性误差而使该信号随机化；任何信号本身都存在随机干扰，通常把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称之为噪声。随机过程：随时间变化的随机变量。随机变量：当随机变量的取值个数是有限个时，称它为离散随机变量,否则就称为连续随机变量。2.1引言－第二章现代信号处理方法－4随机信号中的任何一点上的值都是不能先验确定的随机变量。抛硬币实验为例，每次抛掷结果有两种可能的状态。如果把正面朝上用x=+1表示，反面朝上用x=-1表示，连续地抛掷，可以得到一个由+1和-1组成的一个序列x(n)。2.1引言－第二章现代信号处理方法－5随着抛掷次数的增加，比值m/n总在1/2附近摆动。在大量重复实验或者观察下，它的结果会呈现某种规律性。下表是历史上几位著名学者的实验记录。这种在个别实验中其结果呈现不确定性，在大量重复实验中其结果又具有规律性的现象，称之为随机现象，大量同类随机现象所呈现的固有规律称为随机现象的统计特征。－第二章现代信号处理方法－6对于一个随机信号，虽然我们不能确定它的每个时刻的值，但可以从统计平均的角度来认识它。我们可以知道它在每个时刻可能取哪几种值和取各种值的概率是多少，以及各个时间点上取值的关联性。因此，如果已经知道了它的概率分布，我们就认为对这个随机信号在统计意义上有了充分的了解。而随机过程的各种统计特征量分别从各个侧面间接反映了概率分布特性。2.1引言－第二章现代信号处理方法－72.1引言－第二章现代信号处理方法－82.1引言－第二章现代信号处理方法－92.1引言第二章现代信号处理方法2.1引言2.2随机过程的基本概念2.3平稳随机过程2.4高斯过程2.5非平稳信号处理方法2.6现代信号处理方法的应用－第二章现代信号处理方法－112.2随机过程的基本概念－第二章现代信号处理方法－12随机过程随机试验E的可能结果为(s,t)，试验的样本空间S为{x1(t)、x2(t)…xi(t)…},xi(t)为第i个样本函数。每次实验之后，(s,t)取空间S中的某一个样本函数，于是用(s,t)表示该随机过程，简记为(t)。几个基本概念随机过程：所有样本函数的集合，t与s均可变；样本函数：确定的时间函数，t是变量，s是固定的；样本随机变量：t固定时，随机信号的状态;样本值：确定的数值，t与s均固定2.2随机过程的基本概念－第二章现代信号处理方法－13(si,t)=xi(t),样本函数;(s,tk)=(tk),随机变量;(si,tk)=确定实数x1(t)x2(t)xi(t)xN(t)实数值样本函数tkt(si,tk)2.2随机过程的基本概念随机过程：所有样本函数的集合，t与s均可变；样本函数：确定的时间函数，t是变量，s是固定的；样本随机变量：t固定时，随机信号的状态;样本值：确定的数值，t与s均固定－第二章现代信号处理方法－14随机过程的两种基本表征样本函数集合随机变量集合(,)1,2,...(,)istist样本函数集合随机过程,...2,1),(),(itstsi随机变量集合随机过程2.2随机过程的基本概念x1(t)x2(t)xi(t)xN(t)实数值样本函数tkt(si,tk)－第二章现代信号处理方法－15随机过程(t)的数字特征数学期望方差自相关函数()()atEt22})()({)()(tEtEtDt22(){()}EtEt1212(,)[()()]RttEtt随机过程的数字特征2.2随机过程的基本概念－第二章现代信号处理方法－16自相关函数描述同一随机过程的相关程度，与选择时刻t1和t2有关。如果t2t1并令t2=t1+，有即相关函数是时间起点t1以及时间间隔的函数。),(),(1121ttRttR随机过程的数字特征2.2随机过程的基本概念第二章现代信号处理方法2.1引言2.2随机过程的基本概念2.3平稳随机过程2.4高斯过程2.5非平稳信号处理方法2.6现代信号处理方法的应用－第二章现代信号处理方法－182.3平稳随机过程统计特性（相关函数等）具有平稳性的随机过程称为平稳随机过程。观测平稳随机过程的相应统计特性时，不受观察时刻的影响。严格平稳：全部统计特性平稳广义平稳：部分统计特性平稳均值平稳自相关平稳122121)(),(),(ttRttttRttR，0)]([)]([)(attEtEta－第二章现代信号处理方法－19各态历经性（遍历性）统计平均等于样本函数的时间平均x1(t)x2(t)xi(t)xN(t)实数值样本函数tkt(si,tk)从随机过程的一次观测记录是否可以估计其统计值？2.3平稳随机过程－第二章现代信号处理方法－20连续时间信号离散时间信号2.3平稳随机过程－第二章现代信号处理方法－21各态历经性（遍历性）统计平均等于样本函数的时间平均2.3平稳随机过程2/2/)(1lim)(TTTdttxTtxa均值各态历经：统计均值等于时间均值时间均值：设x(t)为(t)的一个样本函数－第二章现代信号处理方法－22各态历经性（遍历性）统计平均等于样本函数的时间平均2.3平稳随机过程2/2/)()(1lim)()()(TTTdttxtxTtxtxR相关函数各态历经：统计相关函数等于样本的时间相关函数样本的时间相关函数各态历经的随机过程是平稳的，但平稳的随机过程不一定是各态历经的。－第二章现代信号处理方法－23自相关函数主要性质：平稳随机过程(t)20REtSRRR为偶函数0RRR的上界2.3平稳随机过程1212(,)[()()]RttEtt第二章现代信号处理方法2.1引言2.2随机过程的基本概念2.3平稳随机过程2.4高斯过程2.5非平稳信号处理方法2.6现代信号处理方法的应用－第二章现代信号处理方法－252.4高斯过程若随机变量的概率密度函数可表示成则称为服从正态分布的随机变量。a及2是两个常量（均值及方差）。222exp21axxf－第二章现代信号处理方法－26高斯随机过程的性质(1)若高斯过程是广义平稳的,则它也是严平稳的;(2)若几个高斯过程中的随机变量之间互不相关,则这些高斯过程也互不相关;(3)若干个高斯过程之和的过程仍是高斯过程;(4)高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯过程。2.4高斯过程－第二章现代信号处理方法－27a210xf(x)f(x)关于x=a对称f(x)在（-，a）内单调上升，在（a，）内单调下降，且在a点最大0,xfxx或112aafxdxfxdxfxdx2.4高斯过程概率密度函数图222exp21axxf－第二章现代信号处理方法－28a210xf(x)对不同的a，表现为f(x)的左右平移，对不同的，f(x)图形随的减小而变高变窄2.4高斯过程概率密度函数图112aafxdxfxdxfxdx222exp21axxf－第二章现代信号处理方法－29标准正态分布2exp211,022xxfa2.4高斯过程222exp21axxf第二章现代信号处理方法2.1引言2.2随机过程的基本概念2.3平稳随机过程2.4高斯过程2.5非平稳信号处理方法2.6现代信号处理方法的应用－第二章现代信号处理方法－31一般来说,时频分析方法具有很强的能量聚集作用,不需要知道信号频率随时间的确定关系,只要信噪比足够高,通过时频分析方法就可在时间——频率平面上得到信号的时间频率关系。时频分析主要用来寻找信号的特征。时频分析方法主要采用一些特殊的变换来突出信号的特征点,在非平稳信号的处理中具有突出的优越性。2.5非平稳信号处理方法－第二章现代信号处理方法－32左图为LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量化级是256，即0(,)2550,511fxyxyxy图像是二维信号，同样是能量有限的。实际上任何一幅数字图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。2.5非平稳信号处理方法－第二章现代信号处理方法－33一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间的函数f(t)。2.5非平稳信号处理方法x1(t)x2(t)xi(t)xN(t)实数值样本函数tkt(si,tk)－第二章现代信号处理方法－34050100150200250300350400450500-15-10-5051015050100150200250300350400450500-101050100150200250300350400450500-202050100150200250300350400450500-505050100150200250300350400450500-505050100150200250300350400450500-5052.5非平稳信号处理方法－第二章现代信号处理方法－35050100150200250300350400450500-101050100150200250300350400450500-202050100150200250300350400450500-505050100150200250300350400450500-505050100150200250300350400450500-505050100150200250300350400450500-15-10-50510152.5非平稳信号处理方法－第二章现代信号处理方法－36傅立叶变换用三角函数(正弦波与余弦波)作为正交基函数.－第二章现代信号处理方法－37从本质上讲，Fourier变换就是一个棱镜（Prism），它把一个信号函数分解为众多的频率成分，这些频率又可以重构原来的信号函数，这种变换是可逆的且保持能量不变。2.5非平稳信号处理方法1、傅立叶变换(FourierTransform,STFT)－第二章现代信号处理方法－38周期信号f(t)可以用简单的振荡函数表示成如下形式：这就是著名的傅立叶级数，tktk00sincos和都是简单的调和振荡函数，直观讲都是正弦波。kkba和是函数f(t)的傅立叶级数，0001()(cossin)2kkkaftaktbkt2.5非平稳信号处理方法1、傅立叶变换(FourierTransform,STFT)－第二章现代信号处理方法－39周期信号f(t)可以用简单的振荡函数表示成如下形式：0001()(cossin)2kkkaftaktbkt2.5非平稳信号处理方法1、傅立叶变换(FourierTransform,STFT)fori=1:1000sum=a0/2;fork=1:200sum=sum+a(k)*cos(k*omg*i)+b(k)*sin(k*omg*i);endf(i)=sum;end－第二章现代信号处理方法－40于是，周期函