2.4等比数列的概念及通项公式(高中数学人教A版必修五)

2．4等比数列2．4.1等比数列的概念及通项公式学习目标1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念．2．掌握等比数列的通项公式及推导过程．3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．问题请同学们观察下列数列，看有何不同特点？①②1，2，4，8，16，32，…0，5，10，15，20，…通项公式数学式子表示定义等比数列等差数列名称如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan=a1+（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示an=a1·qn-1（q≠0）an+1an=q(q≠0)1.等差、等比数列对照表(1)等比数列通项公式推导：若已知首项为a1，公比为q，如何求an？32412311111,,nnnnnnaaaaqqqqaaaaaqaaqNa，即（n）解1：等比数列通项公式：111(*,0,0)nnaaqnNaq解2：1324111231nnnnaaaaaaaqNaaaa（n）叠乘法(,*,,0,0)nmnmmaaqmnNmnaq且(1)等比数列的通项公式，公比为是等比数列，首项为如果数列qaan,}{1a2=a1qa3=a2q=a1q2a4=a3q=a1q3…an=a1qn-1①.不完全归纳法a2/a1=qa3/a2=qa4/a3=q…an/an-1=q这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1所以an=a1qn-1②.叠乘法（累乘法）其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1，即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它就是等比数列｛an｝的通项公式。(1)等比数列的通项公式通项公式一:)0,(111qaqaann3、在等比数列{an}的通项公式中a1、q、an、n任知3个，可求其余1个.1、不要错误地写成nnqaa12、每一项都可以用a1和q表示，等比数列由首项和公比确定4、图像特点：当q0且q≠1，an是指数函数2.等差数列与等比数列的类比等差数列等比数列定义首项、公差（公比）取值有无限制通项公式主要性质1(2)nnaqna1(2)nnaadn11nnaaq1(1)naand(1)()nmaanmd(1)nmnmaaq(2)若m+n=s+r(m,n,s,r∈N*)则am·an=as·ar.(2)若m+n=s+r(m,n,s,r∈N*)则am+an=as+ar.1,aRdR10,0aq(3)2an=an-1+an+1.(等差中项）(3)an2=an-1·an+1.（等比中项）(1)在已知a1和q的前提下，利用公式an＝a1qn－1，可求出等比数列中的任意一项．(2)在通项公式中知道a1、q、n、an四个量中的任意三个，可求得另一个量．特别提醒：等比数列的通项公式体现了等比数列的所有特性，可解决等比数列的有关问题，因而要熟记公式，灵活地运用公式解决问题．等比数列的通项公式知识点一A．an＝a3qn－2B．an＝a3qn－1C．an＝a3qn－3D．an＝a3qn－41．已知an是公比为q的等比数列，则这个数列的通项公式为()解析：∵a3qn－3＝a1·q2·qn－3＝aqn－1＝an.答案：C预习测评求下列各等比数列的通项公式：(1)a1＝3，a3＝27；(2)a1＝1，an＋1＝2an(n≥1)．【思路点拨】关键是确定等比数列的首项和公比．例1【解】(1)a3＝a1q2，∴q2＝9，∴q＝±3.∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n或an＝a1qn－1＝3×(－3)n－1＝(－1)n－13n.∴an＝3n或(－1)n－13n.(2)由题意知an＋1an＝2(n≥1)．∴数列{an}是公比为2的等比数列，且首项为a1＝1.∴通项公式为an＝a1qn－1＝1×2n－1＝2n－1.例1.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.解：用｛an｝表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有,18,1243aa18123121qaqa即解得因此，答：这个数列的第1项与第2项分别是.8316与11nnqaa823316qaa12316a123q方程思想例3．在等比数列{}na中，0na，且，3720aa，求11a。6473aa解：依题意可得37376420aaaa解得37416aa或37164aa当37416aa时4,4q411764aaq当37164aa时41,4q41171aaq如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.abGabGabGGbaG2思考：1.任意两个数都有等比中项吗？2.若两个数有等比中项，则该等比中项唯一吗？3.当a=b时，G=只有同号的两数，才存在等比中项不唯一，等比中项有两个值，即Gabab4.若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．等比中项：知识点二数列：2，4，8，16，32，64，…8是4和16的等比中项，2和32的等比中项；16是8和32的等比中项，4和64的等比中项.等比数列：a1，a2，…an-1,an,an+1,…结论：an是an-1与an+1的等比中项211(2)nnnaaan在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等比中项.*),2,0(}{11112Nnnaaaaaaannnnnnn为等比数列数列求出下列等比数列中的未知项：(1)2，a,8；(2)－4，b，c，12.例3【思路点拨】利用等比中项满足G2＝ab.解】(1)由题意得a2＝2×8，∴a＝4或a＝－4.(2)由题意得b2＝－4cc2＝12b，解得b＝2c＝－1或b＝0c＝0(舍去)．∴b＝2c＝－1.【例1、已知三个数成等比数列，且其积为512，若第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，求这三数。解：设这三数为,,aaaqq5122(2)(2)aaaqqaaaqq8122aqq或所以这三数为4,8,16或16，8，4.说明:(1)若三数成等比数列,且积已知,则可设这三数为,,aaaqq(2)若四数成等比数列,且积已知,则可设这四数为33,,,aaaqaqqq对称设法等比数列的应用设法知识点三1．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数．解：设前两个数分别是a，b，则第3,4两个数分别是36－b,37－a，由题意有2b＝36－b＋a，36－b2＝b37－a，解得a＝12，b＝16，或a＝994，b＝814.故这四个数依次为12,16,20,25或994，814，634，494.判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法an＋1an＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法a2n＋1＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．等比数列的判定与证明知识点四【例2】已知数列an满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，(1)求证：数列an＋1是等比数列；(2)求an的表达式．(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，由a1＝1，故a1＋1≠0，由上式易知an＋1≠0，所以an＋1＋1an＋1＝2，所以an＋1是以2为公比的等比数列．方法点评：等比数列的判断方法主要有以下几种：(2)解：由(1)可知an＋1是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1，所以an＝2n－1.(1)定义法：an＋1an＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔an是等比数列；(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔an是等比数列；(3)中项公式法：an＋12＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔an是等比数列．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【思路点拨】将递推公式变形，然后利用等比数列的定义判定．2【解】(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，可得an＋1≠0.所以an＋1＋1an＋1＝2(n∈N*)．所以数列{an＋1}是等比数列．(2)由(1)知，{an＋1}是以a1＋1为首项，2为公比的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.【点评】已知数列的递推关系求通项公式时，要先判断该数列是否为等差数列或等比数列，若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将递推公式变形，构造一个等差或等比数列，从而求出通项公式．变式训练已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．解：(1)由S1＝13(a1－1)，得a1＝13(a1－1)，∴a1＝－12.又S2＝13(a2－1)，即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14.(2)证明：当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，得anan－1＝－12，又a2a1＝－12，所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列．1．对等比数列定义的理解应注意(1)注意定义中“从第2项起”这一条件的两层含义．其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中的“与前一项的比”相吻合；其二，等比数列的定义包括了首项这一基本量，且必须从第2项起使数列中各项均与其前面一项作商．(2)注意定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求，它的含义也有两个．其一，强调作商的顺序，即后面的项比前面的项；第二，强调这两项必须相邻．(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等比数列．方法感悟2．用函数的观点看等比数列的通项公式等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，还可以改写为an＝a1qqn.当q＞0，且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，而y＝a1q·qn是一个不为0的常数与指数函数的积．因此等比数列{an}的图象是函数y＝a1q·qx图象上的一些孤立的点．数列等差数列等比数列定义式公差（比）定义变形通项公式一般形式an+1-an=d1nnaqa+=d叫公差q叫公比an+1=an+dan+1=anqan=a1+(n-1)dan=a1qn-1an=am+(n-m)dan=amqn-m比较：(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q；(2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.1．在等比数列an中．解：(1)由a1q＝18，a1q3＝8，解得a1＝27，q＝23，或a1＝－27，q＝－23.(2)由a1q4－a1＝15，a1q3－a1q＝6，得q2＋1q＝52，得q＝12或q＝2.当q＝12，a1＝－16，此时a3＝a1q2＝－4；当q＝2时，a1＝1，此时a3＝a1q2＝4.