2.4等比数列的概念和性质 1

复习与提问：1、等差数列的定义：定义的符号表示：2、等差数列的通项公式：3、等差中项：a，A，b成等差数列，则A=（a+b）/2an=a1+（n-1）d等差数列an+1-an=d一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.1.看清楚纸的厚度是怎样变化的.折1次折2次折3次折4次．．．折28次厚度2（21）4（22）8（23）16（24）．．.228已知白纸的厚度为1，将白纸对折.（如果一页纸的厚度按0.04毫米计算)当折到第28次的时候,请大家估计一下纸的总厚度.厚度=228×0.04×10-3=10737.41824米0.04毫米=0.04×10-3米•2.想一想你能折到28次吗？小实验：观察下列数列，看看他们有什么共同的特点从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数.(1)(2)(3）63322,,2,2,2,1……,161,81,41,21……9，92，93，94，95，96，9736，36×0.9，36×0.92,36×0.93,…（4）共同特点:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（q）。一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差（d）。等比数列等差数列等比数列概念(1)1，3，9，27，81，…(3)5，5，5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，1，…是,公比q=3是,公比q=x是,公比q=-1(7)2341,,,,,(0)xxxxx(2),161,81,41,21是,公比q=21观察并判断下列数列是否是等比数列:是,公比q=1(5)1，0，1，0，1，…(6)0，0，0，0，0，…不是等比数列不是等比数列练习公比q是每一项（第2项起）与它的前一项的比；防止把被除数与除数弄颠倒；公比可以是正数，负数，可以是1，但不可以为0对定义的理解(1)1，3，9，27，…(3)5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，…(2),161,81,41,21(5)1，0，1，0，…(6)0，0，0，0，…1.各项不能为零,即0na2.公比不能为零,即0q4.数列a,a,a,…0a时,既是等差数列又是等比数列;0a时,只是等差数列而不是等比数列.3.当q0，各项与首项同号当q0，各项符号正负相间对定义的理解通项公式数学式子表示定义等比数列等差数列名称如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan=a1+（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示qaann1?名称等差数列等比数列通项公式dnaan)1(1daa12d2aa13d3aa14……由此归纳等差数列的通项公式可得：法1：不完全归纳法d)1n(aa1n1n1nqaana4a法1：不完全归纳法qaaqaa12123a……由此归纳等差数列的通项公式可得：a1q2a1q3a1qn-1名称等差数列等比数列通项公式dnaan)1(1……daa,2n12daa23daa34把这n-1个式子相加，得：法2：累加法d)1n(aa1ndaa1nn当n=1时，a1=a1上式成立*1nNn,d)1n(aa……qaa,2n12法2：法名称等差数列等比数列通项公式dnaan)1(11n1nqaa……daa,2n12daa23daa34把这n-1个式子相加，得：法2：累加法d)1n(aa1ndaa1nn当n=1时，上式成立*1nNn,d)1n(aa……qaa,2n12法2：累乘法qaa23qaa1nn把这n-1个式子相乘，得：1n1nqaa当n=1时，上式成立*1n1nNn,qaaan=a1qn-1（n∈N﹡,q≠0）注：方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用当q=1时，这是一个常函数。0na等比数列的通项公式：等比数列，首项为,公比为q,则通项公式为na1a练习CA从通项公式，想象一下等比数列的图象是怎么样的吗？o12345612345678xy？的图象，你会发现什么的数列的图象和函数画出通项公式为，在右边的直角坐标系中1122xnnya.些孤立点是指数函数图象上的一的图象关于等比数列：从图象的对比可以看出nan等比数列通项公式的图象表示:12xy12nna课本50页探究（2）（1）数列：1，2，4，8，16，…1234567891024681012141618200●●●●●12nna（2）数列：●●●●●●●nnna412)21(8,81,41,21,1,2,4,8（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●4na（4）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…11nna在等差数列中na()nmaanmd*(,)nmN试问：在等比数列中，如果知道和公比q，能否求？如果能，请写出表达式。namananmnmaaq*(,)nmN变形结论:观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：（1）1，，9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。abG等比中项注意：1.两个数的等比中项有两个，它们互为相反数；2.这两个数必须满足同号的条件，即ab0例1一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.解：设这个等比数列的第1项是,公比是q，那么82331612qaa3161a23q解得，，因此316答：这个数列的第1项与第2项分别是与8.1a1831qa1221qa典型例题基本量法（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.(1)一个等比数列的第5项是,公比是，求它的第1项；943151114()39a136a解得，答：它的第一项是36.解：设它的第一项是，则由题意得1a解：设它的第一项是，公比是q，则由题意得1a答：它的第一项是5，第4项是40.101qa2021qa，51a2q解得，，40314qaa因此练习例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？分析：时间：剩留量:最初1经过1年a1=0.84经过2年a2=0.842经过3年a3=0.843经过n年an=0.84n二.等比数列通项公式的应用1n1nqaa例2：根据图2-4-2中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？开始A=1n=1输出An=n+1n5?结束是A=A×(1/2)否是项数相同的等比数列，求证：nnab是等比数列nnba,4：已知例11111111111()()nnnnnnapbqapbqabpqabpq与即为与111nnnnaapbbqabnn证明：设数列的首项是，公比为；的首项为，公比，那么数列的第项与第项分别为：1111111().()nnnnnnababpqpqababpqnnnabpq它是一个与无关的常数，所以是一个以为公比的等比数列1、一个等比数列的第4项与第7项分别是－,，求这个等比数列的通项公式以及第5项292243练习243546351231232,{}(1)0,225,;(2)7,8,nnnaaaaaaaaaaaaaaaaa例已知数列为等比数列若且求求3.等比数列{an}中,a3+a6=36,a4+a7=18,an=1/2,求n.等比数列{an}中，a4·a7=－512，a3+a8=124,公比q为整数，求a10.法一：直接列方程组求a1、q。法二：在法一中消去了a1，可令t=q5法三：由a4·a7=a3·a8=－5120512124323aa412833aa或128441288383aaaa或∵公比q为整数128483aa3241285q2q练习数列等差数列等比数列定义式公差（比）定义变形通项公式一般形式an+1-an=dd叫公差q叫公比an+1=an+dan+1=anqan=a1+(n-1)dan=a1qn-1an=am+(n-m)dan=amqn-mmnaadmnmnmnaaq归纳：qaann1等比数列的性质等比数列的性质等比数列的性质典例剖析典例剖析练习小结1.等比数列的定义2.等比数列的通项公式及推导3.等比中项的定义4.等比数列的图像作业1.阅读教材第页至第页2.教材第页第题3.红对勾第课时