2.5 矩阵的秩及其求法

1一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法第四节矩阵的秩及其求法第二章三、满秩矩阵21.k阶子式定义1设nmijaA在A中任取k行k列交叉),min1(nmkk称为A的一个k阶子式。阶行列式，处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念3设110145641321A，例如矩阵A的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为10122D而1015643213D为A的一个三阶子式。显然，nm矩阵A共有knkmcc个k阶子式。42.矩阵的秩nmijaA设，有r阶子式不为0，任何r+1阶记作R(A)或秩(A)。子式(如果存在的话)全为0,定义2称r为矩阵A的秩，5规定：零矩阵的秩为0.注意：(1)如R(A)=r，则A中至少有一个r阶子式0,rD所有r+1阶子式为0，且更高阶子式均为0，r是A中非零的子式的最高阶数.(2)由行列式的性质，()().TRARA(3)R(A)≤m,R(A)≤n,0≤R(A)≤min{m,n}.(4)如果An×n,且0,A则R(A)=n.反之，如R(A)=n,则0.A因此，方阵A可逆的充分必要条件是R(A)=n.6二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。例1设000007204321B为阶梯形矩阵，求R(B)。解02021，由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R(B)=2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。7010010100321A3AR001021B2BR例如100010011C3CR125034000D2RD21235081530007200000E3RE一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。8aaaA111111,3AR如果1a求a.解3ARaaaA1111110)1)(2(2aa或2a例2设9KKKKA1111111111113AR则K3例3311111113(1)(3)111111KAKKKKK102、用初等变换法求矩阵的秩定理2矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即BA则)()(BRAR说明：jirr.1只改变子行列式的符号。irk.2是A中对应子式的k倍。jikrr.3是行列式运算的性质。由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一nmA都等价于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为.AR所以可以用初等变换化A为阶梯矩阵来求A的秩。11例4211163124201A解R(A)=2000021104201，21102110420113rr122rrA求.AR12,2,6352132111，求）（且设ARA4580443021116352132111A015044302111,2)(AR1,501,05例513三、满秩矩阵,nAR称A是满秩阵，（非奇异矩阵）,nAR称A是降秩阵，（奇异矩阵）可见：0AnARA为n阶方阵时，定义314定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵.,,,21sPPP使得EAPPPPss121,对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理15例如它的行最简形是n阶单位阵E.EAnAR~nEAnAR~213212321A320430321320110001E1000100013AR对于满秩矩阵A，A为满秩方阵。16定理5R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}。关于矩阵的秩的一些重要结论：性质1设A是nm矩阵，).()()(ABRnBRARB是tn矩阵，性质2如果AB=0则.)()(nBRAR性质3如果R(A)=n,如果AB=0则B=0。性质4设A,B均为nm矩阵，则).()()(BRARBAR17设A为n阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E)≥n证：∵(A+E)+(E-A)=2E∴R(A+E)+R(E-A)≥R(2E)=n而R(E-A)=R(A-E)∴R(A+E)+R(A-E)≥n例818作业P109123