2.5-2.6 一维无限深势阱

§6定态Schrodinger方程•（一）定态Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）求解定态问题的步骤（四）定态的性质（一）定态Schrodinger方程),()](2[),(22trrVtrti)()(),(tfrtr)(]2)[()()(22rVtftfdtdri讨有外场情况下的定态Schrodinger方程：E)()(]2[)()(22rErVtEftfdtdi令：/~)(iEtetfEtiertr)(),(于是：V(r)与t无关时，可以分离变量代入)(]2[)(1)()(122rVrtfdtdtfi)()(tfr两边同除等式两边是相互无关的物理量，故应等于与t,r无关的常数该方程称为定态Schrodinger方程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。由deBroglie关系可知：E就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。Etiertr)(),()()(]2[22rErV空间波函数ψ(r)可由方程和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得出。能量有确定的值能量定值？,2,12π2222nnmLEn（二）Hamilton算符和能量本征值方程（1）Hamilton算符),()](2[),(22trrVtrti算符。亦称量，称为与经典力学相同，HamiltonHamiltonHˆ)()(]2[)()(22rErVtEftfdtdiEVEti]2[2二方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ(r,t)等于EΨ(r,t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。HVtiˆ222是相当的。这两个算符都称为能量算符。也可看出，作用于任一波函数Ψ上的二算符)(r，得：注意到]/exp[iEt]/exp[iEt再由Schrodinger方程：（2）能量本征值方程一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程相似。数学物理方法中：微分方程+边界条件构成本征值问题；EHˆEV]2[2将改写成（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量E称为算符H的本征值；Ψ称为算符H的本征函数。（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。2.写出Schrodinger方程1.模型4.由边界条件（波函数标准条件）确定常数3.解方程5.确定能量6.确定归一化常数、波函数7.讨论求解定态问题的步骤（四）定态的性质nnntr),(（1）粒子在空间几率密度与时间无关)]/exp([)]/exp([tiEtiEnnnn)/exp()/exp(tiEtiEnnnn)()(rrnn•（2）几率密度与时间无关][2),(nnnnnitrJ)]/exp()/exp()/exp()/exp([2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn)]()()()([2rrrrinnnn)(rJn2008.5QuantumMechanics§2.6一维无限深势阱金属中的电子在构成金属骨架的晶体点阵之间运动时，要受到点阵上正离子的作用力，这种作用力可用两者相互作用的势能表征。电子在这个有势力场中运动时，通常并不能自发地挣脱出金属表面，这表明在金属内的电子运动到表面上时，它的总能量（动能和势能）远小于表面处的势能，因而受到阻挡。因此，我们对金属中的电子运动有时可以作这样的简化处理，即认为：如果没有外界影响（如外电场、光照等），电子好似被无限高的势能“壁”禁囿于金属内，并在一维势力场作用下运动着，这个抽象出来的计算模型，称为一维无限深方形势阱，简称一维方势阱。2008.5QuantumMechanicsa金属U(x)U=U0U=U0EU=0x极限U=0EU→∞U→∞U(x)x0aⅠⅡⅢ无限深方势阱（potentialwell）是实际情况的极端化和简化。粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运动在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力,不能到阱外。§2.6一维无限深势阱2008.5QuantumMechanics①势函数粒子在阱内自由运动不能到阱外一、薛定谔方程和波函数a0)(xVx0a,xxaxxV000)(2008.5QuantumMechanics②哈密顿量)(2ˆ222xVxmHdd③定态薛定谔方程)()(211222xExxmdd)()(222222xExxmdd阱内：a0)(xVx0阱外：2008.5QuantumMechanics根据波函数有限的条件阱外0,0)(2xaxx1)阱外④分区求通解)()(222222xExxmdd2008.5QuantumMechanics)()(dd2222xExxm令222mEk2)阱内0)()(2xkx(为了方便将波函数脚标去掉)将方程写成通解kxBkxAxsincos)(式中A和B是待定常数2008.5QuantumMechanics⑤由波函数标准条件和边界条件定特解0A2(0)(0)0()sinxBkx0sinkaB2()()0aa在x=0处，波函数要连续，即kxBkxAxsincos)(在x=a处，波函数要连续，即通解是2008.5QuantumMechanicsA已经为零了，B不能再为零了。即)0(πknka),3,2,1(πnank0sinkaB0B),3,2,1(2π2222nnmaEn222nmEk＝222πan只能sin(ka)等于零要求故能量可能值但由上式2008.5QuantumMechanics由波函数的归一性质定常数B),3,2,1(πsin2)(nxanaxn1xxxad)()(*01sin022axkxBdaB2得本征函数这组函数构成本征函数系。2008.5QuantumMechanicstnEinnex)(⑥定态波函数),3,2,1(πsin2nexanatnEi⑦概率密度**nnnnnP,2,1πsin22nxana2008.5QuantumMechanics每个可能的值叫能量本征值讨论),3,2,1(2π2222nnmaEn)1(2E221n粒子能量取值分立(能级概念)能量量子化基态：最低能量不为零--波粒二象性的必然结果，因为静止的波是不存在的。2008.5QuantumMechanics能级间距：,2,12π2222nnmLEnL--阱宽通常表达式写为)3,2,1(n212)1(EE2222nnnnnnnn当n很大时,能量趋于连续,量子效应不明显。2008.5QuantumMechanics本征能量和本征函数的可能取值nnnPEn32122212πmaExaaπsin21axaPπsin221124EExaaPxaaπ2sin2π2sin2222xaaPxaaπ3sin2π3sin2233139EE小结：xananπsin2,2,1πsin22nxanaPn22222πnmaEn2008.5QuantumMechanics一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度x4x3x2x14E3E2E1E)(xoa23x3n24x4n22x2n21x1naoa212a323a24a2008.5QuantumMechanicsn时，量子经典符合玻尔对应原理|2Ψn|an很大En0平均效应明显2/||2/||0)(0axVaxxV2sin||/2()0||/2nnxxaxaaxalim(,)0rrt束缚态无限远处为零的波函数所描述的状态存在束缚态条件lim(,)rEVrt特点：（1）处于束缚态粒子能量是离散的（2）波函数一般可以用实函数描述（3）束缚态能量所对应本征函数不简并2008.5QuantumMechanics2、有限深方形势阱2/||2/||0)(0axVaxxV为阱深。为阱宽，0Va00VE讨论束缚态，即势的特点：空间反射对称0xa/2-a/2V0V0V(x)E2008.5QuantumMechanics)1(0)(2dd102122EVmx写出分区定态方程在阱外(经典禁介区))2()(20EVm0''121xe~1令方程(1)变为其解为都是方程的解？2008.5QuantumMechanics，有时：考虑到束缚态边界条件0||x，与前结论一致。)2|(|0)(axx22)(1axAeaxBexxx.,为待定常数BA,0时（无限深势阱）当V现在是有限深的情况！2008.5QuantumMechanics)3(02dd22222mExikxekxkx，或，cossin0''222k)4(2mEk在阱内(经典允许区)令则方程变为其解可以写为2008.5QuantumMechanics4E按照上节定理，其束缚态能量的本征函数不简并，且必有确定的宇称，考虑到空间反射不变性，即)()(xVxV宇称2008.5QuantumMechanics2||cos~)(2axkxxa、偶宇称态连续。连续或更方便的方法是取处是连续的，在和由于这里内外解)'(ln'2||)(')(axxxtan52kak（）处，结果同上。在2ax，得处，有因此在'2'2)ln()ln(cos2axxaxekxax2008.5QuantumMechanics）（，622aka）（7tanmEkEVm2,)(20)8(222022amV2202kmV令则(5)式化为由有再利用(6)式,有2008.5QuantumMechanics结果如右图所示：求解。可用数值计算或图解法所满足的超越方程组，和）两式是（）（8,7，由此求出的解，，的交点给出）（）给定，曲线（在右图中，数值EaV8,720试考虑：如何由求?,E,2008.5QuantumMechanics.)8(7,20基态）在一偶宇称的束缚态（即至少存方程组至少有一个根，）（么小的值多，无论由图可见，对偶宇称态aV在）。线，第一条线仍存条为束缚态，相应于第二（仍还会出现其第一激发态tan多激发态。继续增大，则将出现更20aV态，不仅会出现偶宇称的基，增大，使当22220aV2008.5QuantumMechanics2||sin~)(2axkxxb、奇宇称态cot)2/cot()'(lnkak连续