[课件]数据结构 第六章 树和二叉树

第六章树树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构§6.1树的定义定义定义：树(tree)是n(n0)个结点的有限集T，其中：有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root)当n1时，其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree)特点：树中至少有一个结点——根树中各子树是互不相交的集合A只有根结点的树ABCDEFGHIJKLM有子树的树根子树基本术语结点(node)——表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支结点的度(degree)——结点拥有的子树数叶子(leaf)——度为0的结点孩子(child)——结点子树的根称为该结点的孩子双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该结点的~兄弟(sibling)——同一双亲的孩子树的度——一棵树中最大的结点度数结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层……深度(depth)——树中结点的最大层次数森林(forest)——m(m0)棵互不相交的树的集合ABCDEFGHIJKLM结点A的度：3结点B的度：2结点M的度：0叶子：K，L，F，G，M，I，J结点A的孩子：B，C，D结点B的孩子：E，F结点I的双亲：D结点L的双亲：E结点B，C，D为兄弟结点K，L为兄弟树的度：3结点A的层次：1结点M的层次：4树的深度：4结点F，G为堂兄弟结点A是结点F，G的祖先§6.2二叉树定义定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成特点每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点)二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒基本形态A只有根结点的二叉树空二叉树AB右子树为空AB左子树为空ABC左、右子树均非空二叉树性质性质1：)1(21iii个结点层上至多有在二叉树的第证明：用归纳法证明之i=1时，只有一个根结点，是对的假设对所有j(1ji)命题成立，即第j层上至多有个结点则可以证明j=I是命题成立。由归纳法假设，第i-1层至多有个结点又二叉树每个结点的度至多为2第i层上最大结点数是第i-1层的2倍，即故命题得证12201i12j22i12222ii性质2：深度为k的二叉树至多有个结点(k1)12k证明：由性质1，可得深度为k的二叉树最大结点数是122)(111kkikiii层的最大结点数第性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1证明：设n1为二叉树T中度为1的结点数因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2所以：其结点总数n=n0+n1+n2又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个分支进入，设B为分支总数，则n=B+1又：分支由度为1和度为2的结点射出，B=n1+2n2于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2n0=n2+1几种特殊形式的二叉树满二叉树定义：~12个结点的二叉树称为且有一棵深度为kk特点：每一层上的结点数都是最大结点数完全二叉树定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为~特点叶子结点只可能在层次最大的两层上出现对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为l，则其左分支下子孙的最大层次必为l或l+1性质性质4：1log2nn深度为个结点的完全二叉树的具有1231145891213671014151231145891267101234567123456哪些是完全二叉树？满二叉树完全二叉树性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有：(1)如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i1，则其双亲是i/2(2)如果2in，则结点i无左孩子；如果2in，则其左孩子是2i(3)如果2i+1n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子是2i+1二叉树的存储结构顺序存储结构实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素特点：结点间关系蕴含在其存储位置中浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树abcdefgabcde0000fg1234567891011链式存储结构二叉链表typedefstructnode{datatypedata;structnode*lchild,*rchild;}JD;lchilddatarchildABCDEFG在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域ABCDEFG^^^^^^^^三叉链表typedefstructnode{datatypedata;structnode*lchild,*rchild,*parent;}JD;lchilddataparentrchildABCDEFGABCDEFG^^^^^^^^^§6.3树和二叉树的遍历树的遍历遍历——按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点被且仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有结点的一个线性排列常用方法先根（序）遍历：先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每棵子树后根（序）遍历：先依次后根遍历每棵子树，然后访问根结点按层次遍历：先访问第一层上的结点，然后依次遍历第二层，……第n层的结点ABCDEFGHIJKLMNO先序遍历：后序遍历：层次遍历：ABEFIGCDHJKLNOMEIFGBCJKNOLMHDAABCDEFGHIJKLMNO二叉树的遍历方法先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点按层次遍历：从上到下、从左到右访问各结点DLRLDR、LRD、DLRRDL、RLD、DRLADBCDLRADLRDLRBDCDLR先序遍历序列：ABDC先序遍历:ADBCLDRBLDRLDRADCLDR中序遍历序列：BDAC中序遍历:ADBCLRDLRDLRDADCLRD后序遍历序列：DBCA后序遍历:B-+/a*b-efcd先序遍历：中序遍历：后序遍历：层次遍历：-+a*b-cd/ef-+a*b-cd/ef-+a*b-cd/ef-+a*b-cd/ef算法递归算法Ch5_1.cvoidpreorder(JD*bt){if(bt!=NULL){printf(%d\t,bt-data);preorder(bt-lchild);preorder(bt-rchild);}}主程序Pre(T)返回返回pre(TR);返回返回pre(TR);ACBDTBprintf(B);pre(TL);BTAprintf(A);pre(TL);ATDprintf(D);pre(TL);DTCprintf(C);pre(TL);C返回T左是空返回pre(TR);T左是空返回T右是空返回T左是空返回T右是空返回pre(TR);先序序列：ABDC中序非递归算法ABCDEFGpiP-A(1)ABCDEFGpiP-AP-B(2)ABCDEFGpiP-AP-BP-C(3)p=NULLABCDEFGiP-AP-B访问：C(4)pABCDEFGiP-A访问：CB(5)ABCDEFGiP-AP-D访问：CBp(6)ABCDEFGiP-AP-DP-E访问：CBp(7)ABCDEFGiP-AP-D访问：CBEp(8)ABCDEFGiP-AP-DP-G访问：CBEP=NULL(9)ABCDEFGiP-A访问：CBEGDp(11)ABCDEFGiP-AP-F访问：CBEGDp(12)ABCDEFGiP-AP-D访问：CBEGp(10)ABCDEFGiP-A访问：CBEGDFp=NULL(13)ABCDEFGi访问：CBEGDFAp(14)ABCDEFGi访问：CBEGDFAp=NULL(15)遍历算法应用按先序遍历序列建立二叉树的二叉链表，已知先序序列为：ABCDEGF求二叉树深度算法ABCDEFGA^B^C^D^E^F^^G^统计二叉树中叶子结点个数算法线索二叉树定义：前驱与后继：在二叉树的先序、中序或后序遍历序列中两个相邻的结点互称为~线索：指向前驱或后继结点的指针称为~线索二叉树：加上线索的二叉链表表示的二叉树叫~线索化：对二叉树按某种遍历次序使其变为线索二叉树的过程叫~实现在有n个结点的二叉链表中必定有n+1个空链域在线索二叉树的结点中增加两个标志域lt:若lt=0,lc域指向左孩子；若lt=1,lc域指向其前驱rt:若rt=0,rc域指向右孩子；若rt=1,rc域指向其后继结点定义：typedefstructnode{intdata;intlt,rt;structnode*lc,*rc;}JD;lcltdatartrcABCDEABDCET先序序列：ABCDE先序线索二叉树00001111^11ABCDEABDCET中序序列：BCAED中序线索二叉树00001111^11^ABCDEABDCET后序序列：CBEDA后序线索二叉树0000111111^ABCDE0A01B00D11C11E1T中序序列：BCAED带头结点的中序线索二叉树01头结点：lt=0,lc指向根结点rt=1,rc指向遍历序列中最后一个结点遍历序列中第一个结点的lc域和最后一个结点的rc域都指向头结点ABDCET中序序列：BCAED中序线索二叉树00001111^11^算法6.6-6.7按中序线索化二叉树Ch5_20.cABCDEt01prpiP-AJD*zxxsh(JD*bt){JD*p,*pr,*s[M],*t;inti=0;t=(JD*)malloc(sizeof(JD));t-lt=0;t-rt=1;t-rc=t;if(bt==NULL)t-lc=t;else{t-lc=bt;pr=t;p=bt;do{while(p!=NULL){s[i++]=p;p=p-lc;}if(i0){p=s[--i];printf(%c,p-data);if(p-lc==NULL){p-lt=1;p-lc=pr;}if(pr-rc==NULL){pr-rt=1;pr-rc=p;}pr=p;p=p-rc;}}while(i0||p!=NULL);pr-rc=t;pr-rt=1;t-rc=pr;}return(t);}ABDCEbt^^^^^^0000000000算法按中序线索化二叉树Ch5_20.cABCDEABDCEbt^^^^^^t01prpiP-AP-BJD*zxxsh(JD*bt){JD*p,*pr,*s[M],*t;inti=0;t=(JD*)malloc(sizeof(JD));t-lt=0;t-rt=1;t-rc=t;if(bt==NULL)t-lc=t;else{t-lc=bt;pr=t;p=bt;do{while(p!=NULL){s[i++]=p;p=p-lc;}if(i0){p=s[--i];printf(%c,p-data);if(p-lc==NULL){p-lt=1;p-lc=pr;}if(pr-rc==NULL){pr-rt=1;pr-rc=p;}pr=p;p=p-rc;}}while(i0||p!=NULL);pr-rc=t;pr-rt=1;t-rc=pr;}return(t);}0000000000算法按中序线索化二叉树Ch5_20.cABCDEABDCEbt^^^^^^t01prP=NULLiP-AP-BJD*zxxsh(JD*bt){JD*p,*pr,*s[M],*t;inti=0;t=(JD*)malloc(sizeof(JD