简单复合函数的求导法则

复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。1、常见函数的导数公式：0'C1)'(nnnxxxxcos)'(sinxxsin)'(cos2、法则1)()()]()(['''xvxuxvxu法则2[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx,[()]'()CuxCux法则3'2''(0)uuvuvvvv复合函数的导数新授课函数，，构成间的关系？2uy23xu2)23(xy可由与复合得到．2uy23xu2)23(xy例1指出下列函数的复合关系：32)2(xy（1）2sinxy（2）xy4cos（3）)13sin(lnxy（4）由复合而成．32)2(xy232,xuuy解：（1）（2）由复合而成．2sinxy2,sinxuuy（3）由复合而成．xy4cosxuuy4,cos（4）由复合而成．)13sin(lnxy13,sin,lnxvvuuy复合函数的导数新授课例2写出由下列函数复合而成的函数：（1）（2）21,cosxuuyxuuyln,ln解：（1）).ln(lnxy)1cos(2xy（2）1.复合函数的概念:(()),(),()()(())yfxuxyfuuuxxyfx对于函数令若是中间变量的函数，是自变量的函数，则称是复自变量x的合函数.二、讲授新课：04:11:11如何对复合函数求导呢？引例一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，其面积是半径的函数：Sr油膜半径随着时间的增加而扩大，其函数关系为：tr2)(rrfS12)(ttr问：油膜面积关于时间的瞬时变化率是多少？St分析：油膜面积关于时间的新函数：St2)12()(ttfS)12(4)48()(tttf)144()12()(2tttftf由于所以由导数的运算法则可得：2)(,2)(trrrf∵∴)()12(2)12(2)(ttfttf定理设函数y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数y=f((x))也可导.且()()xyfux，xuxuyy或复合函数的求导法则即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)注意：1、法则可以推广到两个以上的中间变量；2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.xuuyxyxx00limlimxuuyxx00limlim，xuxuuyxuuy00limlim.xuxuyy即证设变量x有增量x，.0lim0ux所以由于u可导，相应地变量u有增量u，从而y有增量y.复合函数中，令，则)(xfy)(xu)()()(xufxf注意：注意：不要写成！)(xf对x求导对求导)(x复合函数的导数若，，求23,2xuuy)(,,xfuyxu2)23()(xxf并分析三个函数解析式以及导数之间的关系．新授课128)4129(])23[()(22xxxxxfuyu23xu12183)23(232xxuuyxu函数可由复合而成．23,2xuuy)(xfxuuyxf)(例1：求xy2sin的导数分析：解1：(sin2)(2sincos)yxxxx)sinsincos(cos2xxxx解2：xy2sin可由y=sinu,u=2x复合而成2,cosxuuuyxuuyxy=2cos2xxuxuuy2cos2cos2.x2cos2xxxx2cos)2(sincos)(sin?复合函数的导数例题讲解例2求的导数．5)12(xy解：设，则12,5xuuyxuxuxxuuyy)12()(5444)12(102)12(525xxu（1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量；（2）尽可能地将函数化简，然后再求导；（3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用；（4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，一环套一环，缺一不可。复合函数求导法则的注意问题：例3例3求函数的导数。13xy例4求函数的导数。3)12(xy解析解析利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要弄清复合关系，而选择中间变量是复合函数求导的关键。分析：令，则函数是由与复合而成，由复合函数求导法则可知：13)(xxu21)(uuuf13)(xxu解：1323321)()()13(xuxufx例3例3求函数的导数。13xy解：令，则函数是由与复合而成，由复合函数求导法则可知：12)(xxu12)(xxu3)(uuf223)12(623)()()12(xuxufx例4求函数的导数。3)12(xy（1）分解；（2）求导；（3）相乘；（4）回代。复合函数求导的基本步骤：例5、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的函数为12100)(tthy，求函数在t=3时的导数，并解释它的实际意义。12100)(tthyxxf100)(12)(ttx解：函数是由函数与复合而成的，其中x是中间变量。22)12(2002100)()()(txtxfthyt将t=3代入)(th得：49200)3(h（cm/s）。它表示当t=3时，水面高度下降的速度为49200cm/s。例6求下列函数的导数：)(sin)2()()1(2xfyxfy前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题中的对应法则f是未知的，是抽象的复合函数。它们的导数如何求得？？解析而对于抽象复合函数的求导,一方面要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。分析:求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导。解：（1）函数是由与复合而成的，)(ufy2)(xxu)(sincoscos)()()(xfxxufxufy)(22)()()(2xfxxufxufy由复合函数的求导法则知：（2）函数由与复合而成，由复合函数的求导法则知：)(ufyxxusin)(练习xeyxycos110)2()25()(11.求下列函数的导数：2.求曲线在处的切线方程。2)12(xxy6x)25(50xyxexycos1sin014343yx动手做一做例4)1()2()1()(2xfyxfy1求下列函数的导数：动手做一做)1(xf×)1(12xfx)1(1222xfxx小结关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。＊复合函数求导公式：)()()(xufxf利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。对于抽象复合函数的求导,要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关系的求导法则。＊抽象复合函数的导数：结束利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。总结概括